Считая параметр \(\displaystyle x\) положительным, дополните выражение удвоенным произведением так, чтобы получился полный квадрат суммы положительных чисел, и запишите его:
\(\displaystyle x^{\,2}+\)\(\displaystyle +10^2=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Нам известно, что выражение
\(\displaystyle x^{\,2}+\,\color{red}{?} +10^2\)
является полным квадратом суммы, и необходимо найти удвоенное произведение.
Следовательно,
\(\displaystyle x^{\,2}+ \,\color{red}{ ?}+10^2=(a+b\,)^2,\)
\(\displaystyle x^{\,2}+\, \color{red}{ ?}+10^2=a^{\, 2}+\color{red}{2ab}+b^{\, 2}\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)
Нам известны квадраты:
\(\displaystyle a^{\, 2}=x^{\, 2},\)
\(\displaystyle b^{\, 2}=10^{\, 2}.\)
Неизвестно удвоенное произведение:
\(\displaystyle 2ab=\, \color{red}{ ?}\)
Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{x}\) или \(\displaystyle \color{green}{-x},\) \(\displaystyle b\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{10}\) или \(\displaystyle \color{green}{-10}.\)
Поскольку параметр \(\displaystyle x\) положителен и нам требуется получить квадрат суммы положительных чисел, то \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) берем положительными, то есть со знаком "+":
\(\displaystyle a=\color{blue}{x},\)
\(\displaystyle b=\color{blue}{10}.\)
Поэтому
\(\displaystyle 2ab=2\cdot x\cdot 10,\)
\(\displaystyle 2ab=20x.\)
Таким образом,
\(\displaystyle x^{\,2}+\, \color{red}{ ?}+10^2=x^{\,2}+20x+10^2\)
и
\(\displaystyle x^{\,2}+20x+10^2=(x+10)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle x^{\,2}+20x+10^2=(x+10)^2.\)