Считая параметр \(\displaystyle z\) положительным, дополните выражение удвоенным произведением так, чтобы получился полный квадрат суммы положительных чисел, и запишите его:
\(\displaystyle 25+\)\(\displaystyle +z^{\,2}=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Нам известно, что выражение
\(\displaystyle 25+\, \color{red}{ ?} \, +z^{\,2}\)
является полным квадратом суммы, и необходимо найти удвоенное произведение.
Следовательно,
\(\displaystyle 25+\, \color{red}{ ?} \, +z^{\,2}=(a+b\,)^2,\)
\(\displaystyle 25+\, \color{red}{ ?} \, +z^{\,2}=a^{\,2}+\color{red}{2ab}+b^{\,2}\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)
Сначала заметим, что \(\displaystyle 25=5^2,\) и поэтому нам известны квадраты:
\(\displaystyle a^{\,2}=25\) или \(\displaystyle a^{\,2}=5^2,\)
\(\displaystyle b^{\,2}=z^{\,2}.\)
Неизвестно удвоенное произведение:
\(\displaystyle 2ab=\, \color{red}{ ?}\)
Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{5}\) или \(\displaystyle \color{green}{-5},\) \(\displaystyle b\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{z}\) или \(\displaystyle \color{green}{-z}.\)
Поскольку параметр \(\displaystyle z\) положителен и нам требуется получить квадрат суммы положительных чисел, то \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) берем положительными, то есть со знаком "+":
\(\displaystyle a=\color{blue}{5},\)
\(\displaystyle b=\color{blue}{z}.\)
Поэтому
\(\displaystyle 2ab=2\cdot 5\cdot z,\)
\(\displaystyle 2ab=10z.\)
Таким образом,
\(\displaystyle 25+\, \color{red}{ ?} \, +z^{\,2}=25+\, \color{red}{10z} \, +z^{\,2}\)
и
\(\displaystyle 25+\, 10z \, +z^{\,2}=(5+z\,)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle 25+\, 10z \, +z^{\,2}=(5+z\,)^2.\)