Дополните выражение до полного квадрата суммы и запишите квадрат суммы:
\(\displaystyle \big(\)\(\displaystyle \big)^2+42zx+49x^{\,2}=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Нам известно, что выражение
\(\displaystyle \color{red}{?}+42zx+49x^{\,2}\)
является полным квадратом суммы, и необходимо найти второй квадрат.
Следовательно,
\(\displaystyle \color{red}{?}+42zx+49x^{\,2}=(a+b\,)^2{\small , }\)
\(\displaystyle \color{red}{?}+42zx+49x^{\,2}=\color{red}{a^{\,2}}+2ab+b^{\,2}\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{\small . }\)
Сначала заметим, что \(\displaystyle 49x^{\,2}=7^2x^{\,2}=(7x\,)^2,\) и поэтому нам известен один квадрат и удвоенное произведение:
\(\displaystyle (7x\,)^2=b^{\,2}{\small , }\)
\(\displaystyle 42zx=2ab{\small . }\)
Неизвестен второй квадрат
\(\displaystyle \color{red}{?}=a^{\,2}\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.
Из того, что \(\displaystyle b^{\,2}=(7x\,)^2,\) следует, что \(\displaystyle b=7x\) или \(\displaystyle b=-7x{\small . }\)
Возьмём \(\displaystyle b=7x{\small . }\)
Тогда, подставляя вместо \(\displaystyle b\) выражение \(\displaystyle b=7x\) в равенство \(\displaystyle 42zx=2ab{\small , }\) получим:
\(\displaystyle 42zx=2\cdot a \cdot 7x,\)
\(\displaystyle 42zx=14ax{\small , }\)
\(\displaystyle a=\frac{42zx}{14x}{\small , }\)
\(\displaystyle a=3z{\small . }\)
Поэтому недостающий квадрат равен
\(\displaystyle \color{red}{?}=(3z\,)^2{\small . }\)
Таким образом,
\(\displaystyle \color{red}{?}+42zx+49x^{\,2}=\color{red}{(3z\,)^2}+42zx+49x^{\,2}\)
и
\(\displaystyle (3z\,)^2+42zx+49x^{\,2}=(3z+7x\,)^2{\small . }\)
Ответ: \(\displaystyle (3z\,)^2+42zx+49x^{\,2}=(3z+7x\,)^2{\small . }\)