Skip to main content

Теория: Свойства умножения и деления степеней (параметры в целых степенях)

Задание

Для любых ненулевых чисел \(\displaystyle c,\, d,\, y\) найдите показатели степеней:

 

\(\displaystyle c^{\,5}\cdot d^{\,-10} \cdot y^{\,8}\cdot c^{\,-3}\cdot d\cdot c^{\,9}\cdot y^{\,2} \cdot d^{\,-6} =c\)
\(\displaystyle \cdot \, d\)
\(\displaystyle \cdot \, y\)

 

Решение

Правило

Произведение степеней

Пусть \(\displaystyle a\) – ненулевое число, \(\displaystyle n,\, m\) – целые числа. Тогда

\(\displaystyle {\bf a^n\cdot a^m= a^{n+m}}.\)

Менее формально, при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются.

Сначала сгруппируем выражения с одинаковыми основаниями:

\(\displaystyle \begin{aligned} c^{\,5}\cdot d^{\,-10} \cdot y^{\,8}\cdot c^{\,-3}\cdot d\cdot c^{\,9}\cdot y^{\,2} \cdot d^{\,-6} & ={\color{blue}{c}}^{\,5}\cdot {\color{red}{d}}^{\,-10} \cdot {\color{green}{y}}^{\,8}\cdot {\color{blue}{c}^{\,-3}}\cdot {\color{red}{d}}^{\,1}\cdot {\color{blue}{c}}^{\,9}\cdot {\color{green}{y}}^{\,2} \cdot {\color{red}{d}}^{\,-6}= \\[10px]& =\left({\color{blue}{c}}^{\,5}\cdot {\color{blue}{c}}^{\,-3}\cdot {\color{blue}{c}}^{\,9}\right)\cdot \left({\color{red}{d}}^{\,-10}\cdot {\color{red}{d}}^{\,1}\cdot {\color{red}{d}}^{\,-6}\right)\cdot \left({\color{green}{y}^{\,8}}\cdot {\color{green}{y}}^{\,2}\right). \end{aligned}\)

Затем воспользуемся правилом произведения степеней:

\(\displaystyle \begin{aligned} {\color{blue}{c}}^{\,5}\cdot {\color{blue}{c}}^{\,-3}\cdot {\color{blue}{c}}^{\,9} &={\color{blue}{c}}^{\,5+(-3)+9} && \,\kern{-3em} ={\color{blue}{c}}^{\,11},\\[10px] {\color{red}{d}}^{\,-10}\cdot {\color{red}{d}}^{\,1}\cdot {\color{red}{d}}^{\,-6} & ={\color{red}{d}}^{\,-10+1+(-6)} && \,\kern{-3em} ={\color{red}{d}}^{\,-15},\\[10px] {\color{green}{y}}^{8}\cdot {\color{green}{y}}^{\,2} &={\color{green}{y}}^{\,8+2} && \kern{-3em} ={\color{green}{y}}^{\,10}. \end{aligned}\)

Таким образом,

\(\displaystyle \left({\color{blue}{c}}^{\,5}\cdot {\color{blue}{c}}^{\,-3}\cdot {\color{blue}{c}}^{\,9}\right)\cdot \left({\color{red}{d}}^{\,-10}\cdot {\color{red}{d}}^{\,1}\cdot {\color{red}{d}}^{\,-6}\right)\cdot \left({\color{green}{y}^{\,8}}\cdot {\color{green}{y}}^{\,2}\right) ={\color{blue}{c}}^{\,11}\cdot {\color{red}{d}}^{\,-15}\cdot {\color{green}{y}}^{\,10}.\)

Ответ: \(\displaystyle c^{\,11}\cdot d^{\,-15}\cdot y^{\,10}.\)