Skip to main content

Теория: Свойства умножения и деления степеней (параметры в целых степенях)

Задание

Для любых ненулевых чисел \(\displaystyle c,\, z\) найдите показатели степеней:

 

\(\displaystyle z^{\,-2}\cdot c^{\,-13}\cdot z: z^{\,16}: c^{\,-7} =z\)
\(\displaystyle \cdot \, c\)

 

Решение

Сначала сгруппируем выражения с одинаковыми основаниями:

\(\displaystyle \color{blue}{z}^{\,-2}\cdot \color{green}{c}^{\,-13}\cdot \color{blue}{z}: \color{blue}{z}^{\,16}: \color{green}{c}^{\,-7} =\color{blue}{z}^{\, -2}\cdot \color{blue}{z}^{\, 1}: \color{blue}{z}^{\, 16}\cdot \color{green}{c}^{\, -13}:\color{green}{c}^{\, -7}\).

Используя правила "произведение степеней"

Правило

Произведение степеней

Пусть \(\displaystyle a\) – ненулевое число, \(\displaystyle n,\, m\) – целые числа. Тогда

\(\displaystyle {\bf a^n\cdot a^m= a^{n+m}}\).

Менее формально, при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются.

и "частное степеней",

Правило

Частное степеней

Пусть \(\displaystyle a\) – ненулевое число, \(\displaystyle n,\, m\) – целые числа. Тогда

\(\displaystyle {\bf \frac{a^{\,n}}{a^{\,m}}}= a^{\,n}:a^{\,m}=a^{\,n\,-\,m}\).

Менее формально, при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются.

получаем:

\(\displaystyle \color{blue}{z}^{\, -2}\cdot \color{blue}{z}^{\, 1}: \color{blue}{z}^{\, 16}\cdot \color{green}{c}^{\, -13}:\color{green}{c}^{\, -7}=\color{blue}{z}^{\, -2+1-16} \cdot \color{green}{c}^{\, -13-(-7)}=\color{blue}{z}^{\,-17}\cdot \color{green}{c}^{\,-6}\).

 

Таким образом,

\(\displaystyle z^{\,-2}\cdot c^{\,-13}\cdot z: z^{\,16}: c^{\,-7} =z^{\, -17}\cdot c^{\, -6}\).

Ответ: \(\displaystyle z^{\, -17}\cdot c^{\, -6}\).