Найдите показатели степеней:
| \(\displaystyle 4{,}5^{12}\cdot 9{,}1^{18}\cdot 4{,}5^6\cdot 9{,}1^7=4{,}5\) | \(\displaystyle \cdot \,\, 9{,}1\) |
Произведение степеней
Пусть \(\displaystyle a\) – число, \(\displaystyle n,\, m\) – натуральные числа, тогда
\(\displaystyle {\bf a^n\cdot a^m= a^{n+m}}{\small .}\)
Менее формально, при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются.
Сначала сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
\(\displaystyle 4{,}5^{12}\cdot 9{,}1^{18}\cdot 4{,}5^{6}\cdot 9{,}1^{7}={\color{blue}{4{,}5}}^{12}\cdot {\color{red}{9{,}1}}^{18}\cdot {\color{blue}{4{,}5}}^{6}\cdot {\color{red}{9{,}1}}^{7}=({\color{blue}{4{,}5}}^{12}\cdot {\color{blue}{4{,}5}}^{6})\cdot ({\color{red}{9{,}1}}^{18}\cdot {\color{red}{9{,}1}}^{7}){\small .}\)
Затем воспользуемся правилом произведения степеней:
\(\displaystyle ({\color{blue}{4{,}5}}^{12}\cdot {\color{blue}{4{,}5}}^{6})\cdot ({\color{red}{9{,}1}}^{18}\cdot {\color{red}{9{,}1}}^{7})={\color{blue}{4{,}5}}^{12+6}\cdot {\color{red}{9{,}1}}^{18+7}={\color{blue}{4{,}5}}^{\bf 18}\cdot {\color{red}{9{,}1}}^{\bf 25}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 4{,}5^{18} \cdot 9{,}1^{25}{\small .}\)
\(\displaystyle 4{,}5^{12}\cdot 9{,}1^{18}\cdot 4{,}5^6\cdot 9{,}1^7=\underbrace{4{,}5\cdot \ldots \cdot 4{,}5}_{\color{blue}{12}\, раз} \cdot \underbrace{9{,}1\cdot \ldots \cdot 9{,}1}_{\color{red}{18}\, раз }\cdot \underbrace{4{,}5\cdot \ldots \cdot 4{,}5}_{\color{blue}{6}\, раз} \cdot \underbrace{9{,}1\cdot \ldots \cdot 9{,}1}_{\color{red}{7}\, раз}=\)
\(\displaystyle \phantom{4{,}5^{12}\cdot 9{,}1^{18}\cdot 4{,}5^6\cdot 9{,}1^7}=(\underbrace{4{,}5 \ldots \cdot 4{,}5}_{\color{blue}{12+6}\, раз}) \cdot (\underbrace{9{,}1 \ldots \cdot 9{,}1}_{\color{red}{18+7}\, раз})=4,5^{\color{blue}{18}}\cdot 9,1^{\color{red}{25}}{\small .}\)