Раскройте скобки и вынесите общий множитель со знаком плюс за скобки так, чтобы члены в скобках не имели общего множителя:
Сначала раскроем скобки, умножив на \(\displaystyle -6x^{\,4}\) каждый член выражения \(\displaystyle 5x^{\,4}-15x\):
\(\displaystyle \begin{aligned}\color{red}{-6x^{\,4}} \cdot (5x^{\,4}-15x\,)+45x^{\,3}&=\color{red}{(-6x^{\,4}\,)}\cdot 5x^{\,4}-\color{red}{(-6x^{\,4}\,)}\cdot 15x+45x^{\,3}=\\[10px]&=\Big((\color{red}{-6})\cdot 5\Big)\cdot \color{red}{x^{\,4}}\cdot x^{\,4}- \Big((\color{red}{-6})\cdot 15\Big)\cdot \color{red}{x^{\,4}}\cdot x+45x^{\,3}= \\[10px]&=-30x^{\,8}+90x^{\,5}+45x^{\,3}.\end{aligned}\)
Теперь найдем общий множитель, который нужно вынести за скобки.
Выражение \(\displaystyle -30x^{\,8}+90x^{\,5}+45x^{\,3}\) состоит из трех одночленов \(\displaystyle -\color{blue}{30}\color{green}{x^{\,8}}, \, \color{blue}{90}\color{green}{x^{\,5}}\) и \(\displaystyle \color{blue}{45}\color{green}{x^{\,3}}.\)
Для этих выражений нам необходимо найти такой общий множитель, чтобы при его вынесении за скобки оставшиеся в скобках одночлены не имели общих множителей.
Вычислим наибольший общий делитель одночленов \(\displaystyle -30x^{\,8},\) \(\displaystyle 90x^{\,5}\) и \(\displaystyle 45x^{\,3}\) как произведение наибольшего общего делителя числовых коэффициентов на переменную в наименьшей степени.
- Найдем наибольший общий делитель числовых коэффициентов \(\displaystyle \color{blue}{30},\, \color{blue}{90}\) и \(\displaystyle \color{blue}{45}.\)
Воспользуемся разложением на множители или алгоритмом Евклида для последовательного нахождения наибольших общих делителей.
Сначала найдем наибольший делитель первых двух коэффициентов: \(\displaystyle НОД(\color{blue}{30},\color{blue}{90})=30.\) Затем найдем наибольший общий делитель полученного числа и третьего коэффициента: \(\displaystyle НОД(30,\color{blue}{45})=15.\) Таким образом, наибольший общий делитель числовых коэффициентов равен \(\displaystyle {\bf 15}.\) - Найдем \(\displaystyle x\) в наименьшей степени, поскольку рассматриваемые одночлены являются одночленами от переменной \(\displaystyle x\):
В первом одночлене \(\displaystyle -30x^{\bf \,\color{blue}{8}}\) переменная \(\displaystyle x\) имеет степень \(\displaystyle 8.\)
Во втором одночлене \(\displaystyle 90x^{\bf \,\color{blue}{5}}\) переменная \(\displaystyle x\) имеет степень \(\displaystyle 5.\)
В третьем одночлене \(\displaystyle 45x^{\bf \,\color{blue}{3}}\) переменная \(\displaystyle x\) имеет степень \(\displaystyle 3.\)
Следовательно, \(\displaystyle x\) в наименьшей степени – это \(\displaystyle x^{\bf \,3}.\)
Значит, в выражении \(\displaystyle -30x^{\,8}+90x^{\,5}+45x^{\,3}\) можно вынести за скобки общий множитель \(\displaystyle 15x^{\,3}\):
\(\displaystyle -30x^{\,8}+90x^{\,5}+45x^{\,3}=15x^{\,3}\left(-\frac{30x^{\,8}}{15x^{\,3}}+\frac{90x^{\,5}}{15x^{\,3}}+\frac{45x^{\,3}}{15x^{\,3}}\right)\)
и, следовательно,
\(\displaystyle -30x^{\,8}+90x^{\,5}+45x^{\,3}=15x^{\,3}\,(-2x^{\,5}+6x^{\,2}+3).\)
Ответ: \(\displaystyle 15x^{\,3}\,(-2x^{\,5}+6x^{\,2}+3).\)