Skip to main content

Теория: Вынесение множителя за скобки

Задание

Раскройте скобки и вынесите общий множитель со знаком плюс  за скобки так, чтобы члены в скобках не имели общего множителя:
 

\(\displaystyle -6x^{\,4}\, (5x^{\,4}-15x\,)+45x^{\,3}=\)
15x^3
\(\displaystyle \big(\)
-2x^5+6x^2+3
\(\displaystyle \big)\)
Решение

Сначала раскроем скобки, умножив на \(\displaystyle -6x^{\,4}\) каждый член выражения \(\displaystyle 5x^{\,4}-15x\):

\(\displaystyle \begin{aligned} \color{red}{-6x^{\,4}} \cdot (5x^{\,4}-15x\,)+45x^{\,3}&= \color{red}{(-6x^{\,4}\,)}\cdot 5x^{\,4}-\color{red}{(-6x^{\,4}\,)}\cdot 15x+45x^{\,3}=\\[10px] &=\Big((\color{red}{-6})\cdot 5\Big)\cdot \color{red}{x^{\,4}}\cdot x^{\,4}- \Big((\color{red}{-6})\cdot 15\Big)\cdot \color{red}{x^{\,4}}\cdot x+45x^{\,3}= \\[10px] &=-30x^{\,8}+90x^{\,5}+45x^{\,3}. \end{aligned}\)

 

Теперь найдем общий множитель, который нужно вынести за скобки.

Выражение \(\displaystyle -30x^{\,8}+90x^{\,5}+45x^{\,3}\) состоит из  трех одночленов \(\displaystyle -\color{blue}{30}\color{green}{x^{\,8}}, \, \color{blue}{90}\color{green}{x^{\,5}}\) и \(\displaystyle \color{blue}{45}\color{green}{x^{\,3}}.\)

Для этих выражений нам необходимо найти такой общий множитель, чтобы при его вынесении за скобки оставшиеся в скобках одночлены не имели общих множителей.

Вычислим наибольший общий делитель одночленов \(\displaystyle -30x^{\,8},\) \(\displaystyle 90x^{\,5}\) и \(\displaystyle 45x^{\,3}\) как произведение наибольшего общего делителя числовых коэффициентов на переменную в наименьшей степени.

  1. Найдем наибольший общий делитель числовых коэффициентов \(\displaystyle \color{blue}{30},\, \color{blue}{90}\) и \(\displaystyle \color{blue}{45}.\)
    Воспользуемся разложением на множители или алгоритмом Евклида для последовательного нахождения наибольших общих делителей.
    Сначала найдем наибольший делитель первых двух коэффициентов: \(\displaystyle НОД(\color{blue}{30},\color{blue}{90})=30.\) Затем найдем наибольший общий делитель полученного числа и третьего коэффициента: \(\displaystyle НОД(30,\color{blue}{45})=15.\) Таким образом, наибольший общий делитель числовых коэффициентов равен \(\displaystyle {\bf 15}.\)
  2. Найдем \(\displaystyle x\) в наименьшей степени, поскольку рассматриваемые одночлены являются одночленами от переменной \(\displaystyle x\):
    В первом одночлене \(\displaystyle -30x^{\bf \,\color{blue}{8}}\) переменная \(\displaystyle x\) имеет степень \(\displaystyle 8.\)
    Во втором одночлене \(\displaystyle 90x^{\bf \,\color{blue}{5}}\) переменная \(\displaystyle x\) имеет степень \(\displaystyle 5.\)
    В третьем одночлене \(\displaystyle 45x^{\bf \,\color{blue}{3}}\) переменная \(\displaystyle x\) имеет степень \(\displaystyle 3.\)
    Следовательно, \(\displaystyle x\) в наименьшей степени – это \(\displaystyle x^{\bf \,3}.\)

Значит, в выражении \(\displaystyle -30x^{\,8}+90x^{\,5}+45x^{\,3}\) можно вынести за скобки общий множитель \(\displaystyle 15x^{\,3}\):

\(\displaystyle -30x^{\,8}+90x^{\,5}+45x^{\,3}=15x^{\,3}\left(-\frac{30x^{\,8}}{15x^{\,3}}+\frac{90x^{\,5}}{15x^{\,3}}+\frac{45x^{\,3}}{15x^{\,3}}\right)\)

и, следовательно,

\(\displaystyle -30x^{\,8}+90x^{\,5}+45x^{\,3}=15x^{\,3}\,(-2x^{\,5}+6x^{\,2}+3).\)

Ответ: \(\displaystyle 15x^{\,3}\,(-2x^{\,5}+6x^{\,2}+3).\)