Приведите многочлен к стандартному виду:
Стандартный вид многочлена от нескольких переменных
Многочлен от нескольких переменных записан в стандартном виде, если это многочлен, в котором:
- каждый одночлен записан в стандартном виде,
- нет подобных слагаемых.
Сначала в заданном выражении преобразуем все одночлены к стандартному виду:
\(\displaystyle \begin{aligned}y^{\,3}\cdot z^{\,2}\cdot x^{\,3}\cdot y\cdot 13xz&=13\cdot (x^{\,3}\cdot x\,)\cdot (\,y^{\,3}\cdot y\,)\cdot (z^{\,2}\cdot z\,)=\\[10pt]&=13\cdot x^{\,3+1}\cdot y^{\,3+1}\cdot z^{\,2+1}=13x^{\,4}y^{\,4}z^{\,3}{\small ;}\end{aligned} \) | |
| \(\displaystyle \begin{aligned}y^{\,3}z^{\, 2}\cdot y^{\,4}z^{\,4}\cdot x^{\,2}y&=x^{\,2}\cdot (\,y^{\,3}\cdot y^{\,4}\cdot y\,)\cdot (z^{\, 2}\cdot z^{\,4})=\\[10pt]&=x^{\,2}\cdot y^{\,3+4+1}\cdot z^{\, 2+4}=x^{\,2}y^{\,8}z^{\,6}{\small ;}\end{aligned} \\\) | |
| \(\displaystyle \begin{aligned}7y^{\,2}z^{\, 3}\cdot y^{\,2}z^{\,3}\cdot x^{\,2}y^{\,4}&=7\cdot x^{\,2}\cdot (\,y^{\,2}\cdot y^{\,2}\cdot y^{\,4})\cdot (z^{\, 3}\cdot z^{\,3})=\\[10pt]&=7\cdot x^{\,2}\cdot y^{\,2+2+4}\cdot z^{\, 3+3}=7x^{\,2}y^{\,8}z^{\,6}{\small ;}\end{aligned} \\\) | |
\(\displaystyle \begin{aligned}3x^{\,2}\cdot y^{\,2}\cdot 2zy^{\,2}\cdot z^{\,2}\cdot 7x^{\,2}&=(3\cdot 2\cdot 7)\cdot (x^{\,2}\cdot x^{\,2})\cdot (\,y^{\,2}\cdot y^{\,2})\cdot (z\cdot z^{\,2})=\\[10pt]&=42\cdot x^{\,2+2}\cdot y^{\,2+2}\cdot z^{\,1+2}=42x^{\,4}y^{\,4}z^{\,3}{\small .}\end{aligned}\) |
Поэтому
\(\displaystyle \begin{array}{l}y^{\,3}\cdot z^{\,2}\cdot x^{\,3}\cdot y\cdot 13xz-y^{\,3}z^{\, 2}\cdot y^{\,4}z^{\,4}\cdot x^{\,2}y+15xyz+\\[10pt]+7y^{\,2}z^{\, 3}\cdot y^{\,2}z^{\,3}\cdot x^{\,2}y^{\,4} -3x^{\,2}\cdot y^{\,2}\cdot 2zy^{\,2}\cdot z^{\,2}\cdot 7x^{\,2}-xyz=\\[10pt]\kern{3em} =13x^{\,4}y^{\,4}z^{\,3}- x^{\,2}y^{\,8}z^{\,6}+15xyz+7x^{\,2}y^{\,8}z^{\,6}-42x^{\,4}y^{\,4}z^{\,3}-xyz{\small .}\end{array}\)
Приведем в получившемся многочлене подобные слагаемые:
\(\displaystyle \begin{array}{l}13\color{blue}{x^{\,4}y^{\,4}z^{\,3}}-\color{green}{x^{\,2}y^{\,8}z^{\,6}}+15\color{red}{xyz}+7\color{green}{x^{\,2}y^{\,8}z^{\,6}}-42\color{blue}{x^{\,4}y^{\,4}z^{\,3}}-\color{red}{xyz}=\\[10pt]\kern{3em} =(13\color{blue}{x^{\,4}y^{\,4}z^{\,3}}-42\color{blue}{x^{\,4}y^{\,4}z^{\,3}})+(-\color{green}{x^{\,2}y^{\,8}z^{\,6}}+7\color{green}{x^{\,2}y^{\,8}z^{\,6}})+(15\color{red}{xyz}-\color{red}{xyz}\,)=\\[10pt]\kern{6em} =(13-42)\color{blue}{x^{\,4}y^{\,4}z^{\,3}}+(-1+7)\color{green}{x^{\,2}y^{\,8}z^{\,6}}+(15-1)\color{red}{xyz}=\\[10pt]\kern{9em} =-29\color{blue}{x^{\,4}y^{\,4}z^{\,3}}+6\color{green}{x^{\,2}y^{\,8}z^{\,6}}+14\color{red}{xyz}{\small .}\end{array}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \begin{array}{l}y^{\,3}\cdot z^{\,2}\cdot x^{\,3}\cdot y\cdot 13xz-y^{\,3}z^{\, 2}\cdot y^{\,4}z^{\,4}\cdot x^{\,2}y+15xyz+\\[10pt]+7y^{\,2}z^{\, 3}\cdot y^{\,2}z^{\,3}\cdot x^{\,2}y^{\,4} -3x^{\,2}\cdot y^{\,2}\cdot 2zy^{\,2}\cdot z^{\,2}\cdot 7x^{\,2}-xyz=\\[10pt]\kern{5em}=-29x^{\,4}y^{\,4}z^{\,3}+6x^{\,2}y^{\,8}z^{\,6}+14xyz{\small .}\end{array}\)
Ответ: \(\displaystyle -29x^{\,4}y^{\,4}z^{\,3}+6x^{\,2}y^{\,8}z^{\,6}+14xyz{\small .}\)