Найдите степень многочлена:
\(\displaystyle 2x^{\,2}y^{\,3}\cdot 0{,}01y\cdot 5xyz^{\,2}-zx\cdot y^{\,3}\cdot 2{,}2xz^{\,7}y-5zy^{\,3}\cdot 0{,}2yxz\cdot 5yx^{\,2}+0{,}1x^{\,8}y^{\,5}+yx\cdot xy^{\,3}\cdot 2{,}2z^{\,8}\)
Степень многочлена =
Степень многочлена от нескольких переменных
Степенью многочлена от нескольких переменных называется наибольшая степень одночлена в стандартной записи многочлена.
Сначала приведем данный нам многочлен к стандартному виду.
1. Преобразуем все одночлены этого многочлена к стандартному виду:
\(\displaystyle \begin{aligned}2x^{\,2}y^{\,3}\cdot 0{,}01y\cdot 5xyz^{\,2}&=(2\cdot 0{,}01\cdot 5)\cdot (x^{\,2}\cdot x\,)\cdot (\,y^{\,3}\cdot y\cdot y\,)\cdot z^{\,2}=\\[10pt]&=0{,}1\cdot x^{\,2+1}\cdot y^{\,3+1+1}\cdot z^{\,2}=0{,}1x^{\,3}y^{\,5}z^{\,2}{\small ;}\end{aligned}\) | |
\(\displaystyle \begin{aligned}zx\cdot y^{\,3}\cdot 2{,}2xz^{\,7}y&=2{,}2\cdot (x\cdot x\,)\cdot (\,y^{\,3}\cdot y\,) \cdot (z\cdot z^{\,7})=\\[10pt]&=2{,}2\cdot x^{\,1+1}\cdot y^{\,3+1}\cdot z^{\,1+7}=2{,}2x^{\,2}y^{\,4}z^{\,8}{\small ;}\end{aligned} \) | |
\(\displaystyle \begin{aligned}5zy^{\,3}\cdot 0{,}2yxz\cdot 5yx^{\,2}&=(5\cdot 0{,}2\cdot 5)\cdot (x\cdot x^{\,2})\cdot (\,y^{\,3}\cdot y\cdot y\,)\cdot (z\cdot z\,)=\\[10pt]&=5\cdot x^{\,1+2}\cdot y^{\,3+1+1}\cdot z^{\,1+1}=5x^{\,3}y^{\,5}z^{\,2}{\small ;}\end{aligned}\) | |
\(\displaystyle \begin{aligned}yx\cdot xy^{\,3}\cdot 2{,}2z^{\,8}&=2{,}2\cdot (x\cdot x\,)\cdot (\,y\cdot y^{\,3}\,)\cdot z^{\,8}=\\[10pt]&=2{,}2\cdot x^{\,1+1}\cdot y^{\,1+3}\cdot z^{\,8}=2{,}2x^{\,2}y^{\,4}z^{\,8}{\small .}\end{aligned}\) |
Поэтому
\(\displaystyle \begin{array}{l}2x^{\,2}y^{\,3}\cdot 0{,}01y\cdot 5xyz^{\,2}-zx\cdot y^{\,3}\cdot 2{,}2xz^{\,7}y-\\[10pt]\kern{3em}-5zy^{\,3}\cdot 0{,}2yxz\cdot 5yx^{\,2}+0{,}1x^{\,8}y^{\,5}+yx\cdot xy^{\,3}\cdot 2{,}2z^{\,8}=\\[10pt]\kern{6em}=0{,}1x^{\,3}y^{\,5}z^{\,2}-2{,}2x^{\,2}y^{\,4}z^{\,8}-5x^{\,3}y^{\,5}z^{\,2}+0{,}1x^{\,8}y^{\,5}+2{,}2x^{\,2}y^{\,4}z^{\,8}{\small .}\end{array}\)
2. Приведем подобные слагаемые:
\(\displaystyle \begin{array}{l}0{,}1\color{blue}{x^{\,3}y^{\,5}z^{\,2}}-2{,}2\color{green}{x^{\,2}y^{\,4}z^{\,8}}-5\color{blue}{x^{\,3}y^{\,5}z^{\,2}}+0{,}1x^{\,8}y^{\,5}+2{,}2\color{green}{x^{\,2}y^{\,4}z^{\,8}}=\\[10pt]\kern{3em} =(0{,}1\color{blue}{x^{\,3}y^{\,5}z^{\,2}}-5\color{blue}{x^{\,3}y^{\,5}z^{\,2}})+(-2{,}2\color{green}{x^{\,2}y^{\,4}z^{\,8}}+2{,}2\color{green}{x^{\,2}y^{\,4}z^{\,8}})+0{,}1x^{\,8}y^{\,5}=\\[10pt]\kern{6em} =(0{,}1-5)\color{blue}{x^{\,3}y^{\,5}z^{\,2}}+(-2{,}2+2{,}2)\color{green}{x^{\,2}y^{\,4}z^{\,8}}+0{,}1x^{\,8}y^{\,5}=\\[10pt]\kern{9em} =-4{,}9\color{blue}{x^{\,3}y^{\,5}z^{\,2}}+0\cdot \color{green}{x^{\,2}y^{\,4}z^{\,8}}+0{,}1x^{\,8}y^{\,5}=\\[10pt]\kern{12em} =-4{,}9\color{blue}{x^{\,3}y^{\,5}z^{\,2}}+0{,}1x^{\,8}y^{\,5}{\small .}\end{array}\)
Теперь найдем степень полученного многочлена
\(\displaystyle -4{,}9x^{\,3}y^{\,5}z^{\,2}+0{,}1x^{\,8}y^{\,5}{\small .}\)
Выпишем последовательно степени его одночленов:
\(\displaystyle -4{,}9x^{\,3}y^{\,5}z^{\,2} \rightarrow 10{\small ,}\)
\(\displaystyle 0{,}1x^{\,8}y^{\,5} \rightarrow 13{\small .}\)
Поскольку наибольшее число – это \(\displaystyle 13{\small ,}\) то степень нашего многочлена равна \(\displaystyle 13{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 13{\small .}\)