Skip to main content

Теория: Геометрия решений системы линейных уравнений

Задание

Найдите координаты точки \(\displaystyle A{\small ,}\) являющейся точкой пересечения прямых \(\displaystyle 8x-7y=9\) и \(\displaystyle 5x+7y=4{\small . }\)

\(\displaystyle A\big(\)
1
\(\displaystyle ;\,\)
-\frac{1}{7}
\(\displaystyle \big)\)
Решение

Так как координаты точки пересечения прямых \(\displaystyle 8x-7y=9\) и \(\displaystyle 5x+7y=4\) являются решением системы линейных уравнений

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 8x-7y&=9{\small , }\\ 5x+7y&=4{\small , } \end{aligned} \right. \)

то нам нужно найти ее решение.

Решение системы

Прибавим к первому уравнению второе, чтобы избавиться от переменной \(\displaystyle y\) в первом уравнении:

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} \color{blue}{ 8x-7y}+(\color{green}{ 5x+7y}\,)=&\color{blue}{ 9}+\color{green}{ 4}{\small , }\\ \color{green}{ 5x+7y}=&\color{green}{ 4}{\small . } \end{aligned} \right. \)

После приведения подобных в первом уравнении получаем:

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 13x=&13{\small , }\\ 5x+7y=&4{\small . } \end{aligned} \right. \)

Найдем из первого уравнения значение \(\displaystyle x\,{\small : } \)

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x=&1{\small , }\\ 5x+7y=&4{\small . } \end{aligned} \right. \)


Подставим \(\displaystyle x=1\) во второе уравнение:

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x=&1{\small , }\\ 5\cdot 1+7y=&4{\small ; } \end{aligned} \right. \)
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x=&1{\small , }\\ 5+7y=&4{\small . } \end{aligned} \right. \)


Найдем переменную \(\displaystyle y\) из второго уравнения системы:

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x=&1{\small , }\\ 7y=&4-5{\small ; } \end{aligned} \right. \)
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x=&1{\small , }\\ 7y=&-1{\small ; } \end{aligned} \right. \)
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x=&1{\small , }\\ y=&-{\small \frac{ 1}{ 7}}{\small ; } \end{aligned} \right. \)

 

Решение системы: \(\displaystyle x=1,\, y=-\frac{ 1}{ 7}{\small .}\)

Таким образом, получили значения координат для точки пересечения прямых \(\displaystyle A(1;\,-\frac{ 1}{ 7}){\small . } \)
 

Ответ: \(\displaystyle A(1;-\frac{ 1}{ 7}){\small .}\)