Skip to main content

Теория: Геометрия решений системы линейных уравнений

Задание

Решите систему линейных уравнений геометрическим способом:

\(\displaystyle \begin{array}{rl} \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\ {\small \frac{2}{3}} \end{aligned}} \right.&\kern{-1.5em} \begin{aligned} 5x-{\small \frac{5y}{4}}&=2{,}5{\small , }\\ 6x+{\small \frac{3y}{2}}&=-12 {\small .}\end{aligned} \end{array}\)
 


\(\displaystyle x=\)
-\frac{3}{4}
 
,  \(\displaystyle y=\)
-5
 
.
Решение

C геометрической точки зрения, решением системы уравнений

\(\displaystyle \begin{array}{rl} \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\ {\small \frac{2}{3}} \end{aligned}} \right.&\kern{-1.5em} \begin{aligned} 5x-{\small \frac{5y}{4}}&=2{,}5{\small , }\\ 6x+{\small \frac{3y}{2}}&=-12 \end{aligned} \end{array}\)

является точка с координатами \(\displaystyle (x_0;\, y_0){\small ,}\) которая одновременно лежит на прямых \(\displaystyle 5x-\frac{5y}{4}=2{,}5\) и \(\displaystyle 6x+\frac{3y}{2}=-12{\small . }\) Значит, это точка пересечения данных прямых, а ее координаты и являются решением.
 

Определим из рисунка координаты этой точки пересечения:


Таким образом, решение данной системы уравнений имеет вид:

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} \bf x=&\bf {\small -\frac{ 3}{ 4}}{\small , }\\ \bf y=&\bf -5{\small . } \end{aligned} \right. \)


Ответ:\(\displaystyle x=-\frac{ 3}{ 4}{\small },\, y=-5{\small .}\)