Skip to main content

Теория: Уравнение прямой по двум точкам

Задание

Найдите уравнение прямой, проходящей через точки \(\displaystyle A(0;2)\) и \(\displaystyle B(3;\, -2){\small :}\)

\(\displaystyle y=\)
-\frac{4}{3}x+2

 

Решение

Правило

Прямая задается:

  • либо уравнением \(\displaystyle y=kx+b{\small ,}\) для некоторых чисел \(\displaystyle k,\, b\) (то есть является графиком линейной функции),
  • либо уравнением \(\displaystyle x=a{\small ,}\) для некоторого числа \(\displaystyle a{\small .}\)

Из графика в условии задачи следует, что данная нам прямая задается уравнением \(\displaystyle y=kx+b \) (так как прямая \(\displaystyle x=a \) параллельна оси OY).

Подставим координаты точек \(\displaystyle A(0;2)\) и \(\displaystyle B(3;\, -2)\) в уравнение прямой \(\displaystyle y=kx+b\,{\small . } \)

Точка \(\displaystyle A(\color{blue}{ 0};\color{green}{2}) \) с координатами  \(\displaystyle x=\color{blue}{ 0}\) и \(\displaystyle y=\color{green}{ 2}{\small , }\) поэтому

\(\displaystyle \color{green}{2}=k\cdot \color{blue}{ 0}+b {\small , }\)
или, что то же самое,
\(\displaystyle b=2 {\small . }\)

Точка \(\displaystyle B(\color{blue}{ 3};\color{green}{ -2}) \) с координатами  \(\displaystyle x=\color{blue}{ 3}\) и \(\displaystyle y=\color{green}{ -2}{\small , }\) поэтому

\(\displaystyle \color{green}{ -2}=k\cdot \color{blue}{ 3}+b {\small , }\)
или, что то же самое,
\(\displaystyle 3k+b=-2{\small . } \)

Таким образом, получили два уравнения для коэффициентов \(\displaystyle k \) и \(\displaystyle b, \) и мы можем записать систему уравнений:

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} b=&2{\small , }\\ 3k+b=&-2{\small . } \end{aligned} \right. \)

 

Решим эту систему.

Решение системы

Таким образом, \(\displaystyle k=-\frac{ 4}{ 3} \) и \(\displaystyle b=2{\small . } \)

Подставляя найденные значения для \(\displaystyle k \) и \(\displaystyle b \) в уравнение прямой \(\displaystyle y=kx+b{\small , } \) получаем:

\(\displaystyle y=-\frac{ 4}{ 3}x+2{\small . } \)


Ответ: \(\displaystyle y={\bf -\frac{ 4}{ 3}x+2}{\small . } \)