Skip to main content

Теория: Понятие арифметического корня числа и его основное свойство

Задание

Вычислите значения выражения:

\(\displaystyle \left(\sqrt{4}\right)^2=\)
4

 
\(\displaystyle (\sqrt{1{,}391})^2=\)
1,391

 
\(\displaystyle \left(\sqrt{1\frac{13}{17}}\right)^2=\)
1\frac{13}{17}

 

Решение

Правило

Для неотрицательного числа \(\displaystyle a\) верно, что

\(\displaystyle (\sqrt{a})^2=a{\small . }\)

Так как \(\displaystyle 4{\small ,}\, 1{,}391\) и \(\displaystyle 1\frac{13}{17} \) –  неотрицательные числа, то, согласно правилу,

\(\displaystyle (\sqrt{4}\,)^2=4{\small ,}\)

\(\displaystyle \left(\sqrt{1{,}391}\right)^2=1{,}391{\small ,} \)

\(\displaystyle \left(\sqrt{1\frac{13}{17}}\right)^2=1\frac{13}{17}{\small . } \)
 

Ответ:\(\displaystyle \left(\sqrt{4}\right)^2=4{\small ; }\)
 \(\displaystyle \left(\sqrt{1{,}391}\right)^2=1{,}391{\small ; } \)
 \(\displaystyle \left(\sqrt{1\frac{13}{17}}\right)^2=1\frac{13}{17}{\small . } \)


Замечание / комментарий

Определение

Квадратный корень

Квадратным корнем из числа \(\displaystyle a \) называется такое число \(\displaystyle b{\small , } \) что \(\displaystyle b^{\,2}=a{\small . } \)

Неотрицательный квадратный корень из числа \(\displaystyle a \) называется арифметическим квадратным корнем

и обозначается \(\displaystyle \sqrt{ a}{\small . } \)

Согласно определению, \(\displaystyle \sqrt{a} \) –  это обозначение неотрицательного числа, квадрат которого равен \(\displaystyle a{\small .}\)

Из данного обозначения получаем, что \(\displaystyle (\sqrt{a}\,)^2=a{\small , }\) если корень (в действительных числах) существует.

Таким образом, опираясь на факт, что корень (в действительных числах) из любого неотрицательного числа существует, получаем, что если \(\displaystyle a\ge 0{\small , }\) то

\(\displaystyle (\sqrt{a}\,)^2=a{\small .}\)