Задание
Определите знак параметров \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{\small , }\) для которых выражения имеют смысл (в действительных числах), и найдите значения выражений:
| Выражение | Знак параметра | Значение выражения |
| \(\displaystyle \left(\sqrt{a}\,\right)^2\) | \(\displaystyle a\)\(\displaystyle 0\) | |
| \(\displaystyle \left(\sqrt{-b}\,\right)^2\) | \(\displaystyle b\)\(\displaystyle 0\) |
Решение
Воспользуемся правилом.
Правило
Корень из числа \(\displaystyle a \) существует (в действительных числах), если \(\displaystyle a\) неотрицательно.
Другими словами, \(\displaystyle \sqrt{ a} \) существует, если \(\displaystyle a\ge 0{\small . } \)
Согласно данному правилу,
- \(\displaystyle \sqrt{ a} \) существует, если \(\displaystyle a\ge 0{\small , } \)
- \(\displaystyle \sqrt{ -b} \) существует, если \(\displaystyle -b\ge 0{\small , } \) то есть если \(\displaystyle b\le 0{\small . } \)
Далее используем правило.
Правило
Для неотрицательного числа \(\displaystyle a\) верно, что
\(\displaystyle (\sqrt{a}\,)^2=a{\small . }\)
Так как \(\displaystyle a \ge 0\) и \(\displaystyle -b\ge 0{\small ,}\) то
\(\displaystyle \left(\sqrt{a}\,\right)^2=a\) и \(\displaystyle \left(\sqrt{-b}\right)^2=-b{\small . }\)
| Ответ: | \(\displaystyle \left(\sqrt{a}\,\right)^2=a{\small , }\) если \(\displaystyle a\ge 0{\small . } \) |
| \(\displaystyle \left(\sqrt{-b}\right)^2=-b{\small , }\) если \(\displaystyle b\le 0{\small . } \) |