Skip to main content

Теория: Понятие арифметического корня числа и его основное свойство

Задание

Определите знак параметров \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{\small , }\) для которых выражения имеют смысл (в действительных числах), и найдите значения выражений:

Выражение Знак параметра Значение выражения
\(\displaystyle \left(\sqrt{a}\,\right)^2\) \(\displaystyle a\)\(\displaystyle 0\)
\(\displaystyle \left(\sqrt{-b}\,\right)^2\) \(\displaystyle b\)\(\displaystyle 0\)

 

Решение

Воспользуемся правилом.

Правило

Корень из числа \(\displaystyle a \) существует (в действительных числах), если \(\displaystyle a\) неотрицательно.

Другими словами, \(\displaystyle \sqrt{ a} \) существует, если \(\displaystyle a\ge 0{\small . } \)

Согласно данному правилу,
  • \(\displaystyle \sqrt{ a} \) существует, если \(\displaystyle a\ge 0{\small , } \)
  • \(\displaystyle \sqrt{ -b} \) существует, если \(\displaystyle -b\ge 0{\small , } \) то есть если \(\displaystyle b\le 0{\small . } \)

 

Далее используем правило.

Правило

Для неотрицательного числа \(\displaystyle a\) верно, что

\(\displaystyle (\sqrt{a}\,)^2=a{\small . }\)

Так как \(\displaystyle a \ge 0\) и \(\displaystyle -b\ge 0{\small ,}\) то 

 \(\displaystyle \left(\sqrt{a}\,\right)^2=a\) и \(\displaystyle \left(\sqrt{-b}\right)^2=-b{\small . }\)

 

Ответ: \(\displaystyle \left(\sqrt{a}\,\right)^2=a{\small , }\) если \(\displaystyle a\ge 0{\small . } \)
  \(\displaystyle \left(\sqrt{-b}\right)^2=-b{\small , }\) если \(\displaystyle b\le 0{\small . } \)