Skip to main content

Теория: Сравнения и корень квадратный

Задание

Сравните числа:

\(\displaystyle \sqrt{8}+\sqrt{33}\)\(\displaystyle 9\)

Решение

Сравним два положительных числа \(\displaystyle \sqrt{8}+\sqrt{33}\)  (положительного как сумма положительных корней) и \(\displaystyle 9{\small .}\)

Обозначим неизвестный знак как \(\displaystyle \color{green}{ \vee} {\small .}\) Тогда 

\(\displaystyle \sqrt{8}+\sqrt{33} \color{green}{ \vee} 9 {\small . } \)

Если положительные числа возвести в квадрат,  то знак неравенства сохраниться, то есть

\(\displaystyle (\sqrt{8}+\sqrt{33})^2 \color{green}{ \vee} 9^2 {\small , } \)

\(\displaystyle 8+2\cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{33}+33 \color{green}{ \vee} 81 {\small . } \)

Перенесем все числа в правую часть неравенства, а выражение с корнем оставим в левой части:

\(\displaystyle 2\cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{33} \color{green}{ \vee} 81 -33 -8{\small , } \)

\(\displaystyle 2\cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{33} \color{green}{ \vee} 40{\small . } \)

\(\displaystyle 2\cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{33} \color{green}{ <} 40 \)

Для того чтобы сравнить два положительных числа \(\displaystyle 2\cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{33}\) и \(\displaystyle 40{\small ,}\) сравним квадраты этих чисел:

\(\displaystyle (2\cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{33})^2 \color{green}{ \vee} 40^2{\small , } \)

\(\displaystyle 2^2\cdot (\sqrt{8}\,)^2 \cdot (\sqrt{33}\,)^2 \color{green}{ \vee} 1600{\small , } \)

\(\displaystyle 4\cdot 8 \cdot 33 \color{green}{ \vee} 1600{\small , } \)

\(\displaystyle 1056 \color{green}{ \vee} 1600{\small .} \)

Так как

\(\displaystyle 1056 \color{green}{ <} 1600{\small ,} \)

то

\(\displaystyle 2\cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{33} \color{green}{ <} 40{\small .} \)

Таким образом, искомый знак неравенства \(\displaystyle \color{green}{ \vee}\) – это \(\displaystyle \color{green}{ <} {\small .}\) Следовательно,

\(\displaystyle \sqrt{8}+\sqrt{33} \color{green}{ <} 9 {\small . } \)


Ответ: \(\displaystyle \sqrt{8}+ \sqrt{33} \color{green}{ <} 9{\small . } \)


Замечание / комментарий

Оценка корня

Сравнить числовые выражения \(\displaystyle \sqrt{8}+\sqrt{33}\) (положительного как сумма положительных корней) и \(\displaystyle 9\) можно представляя корень из числа как десятичную дробь.

Так как

 \(\displaystyle \color{green}{\sqrt{8}=2{,}8\ldots}\) и \(\displaystyle \color{blue}{\sqrt{33}=5{,}7\ldots}\)

то 

\(\displaystyle \color{green}{\sqrt{8}}+\color{blue}{\sqrt{33}}=\color{green}{2{,}8\ldots}+\color{blue}{5{,}7\ldots} < 9 {\small .}\)

И, следовательно,

\(\displaystyle \sqrt{8}+\sqrt{33} < 9 {\small . } \)