Skip to main content

Теория: Сравнения и корень квадратный

Задание

Сравните числа:

\(\displaystyle \sqrt{3}+\sqrt{21}\)\(\displaystyle 6\)

Решение

Сравним два положительных числа \(\displaystyle \sqrt{3}+\sqrt{21}\)  (положительного как сумма положительных корней) и \(\displaystyle 6{\small .}\)

Обозначим неизвестный знак как \(\displaystyle \color{green}{ \vee} {\small .}\) Тогда 

\(\displaystyle \sqrt{3}+\sqrt{21} \color{green}{ \vee} 6 {\small . } \)

Если положительные числа возвести в квадрат,  то знак неравенства сохраниться, то есть

\(\displaystyle (\sqrt{3}+\sqrt{21})^2 \color{green}{ \vee} 6^2 {\small , } \)

\(\displaystyle 3+2\cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{21}+21 \color{green}{ \vee} 36 {\small . } \)

Перенесем все числа в правую часть неравенства, а выражение с корнем оставим в левой части:

\(\displaystyle 2\cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{21} \color{green}{ \vee} 36 -21 -3{\small , } \)

\(\displaystyle 2\cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{21} \color{green}{ \vee} 12{\small . } \)

\(\displaystyle 2\cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{21} \color{green}{ >} 12 \)

Для того чтобы сравнить два положительных числа \(\displaystyle 2\cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{21}\) и \(\displaystyle 12{\small ,}\) сравним квадраты этих чисел:

\(\displaystyle (2\cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{21})^2 \color{green}{ \vee} 12^2{\small , } \)

\(\displaystyle 2^2\cdot (\sqrt{3}\,)^2 \cdot (\sqrt{21}\,)^2 \color{green}{ \vee} 144{\small , } \)

\(\displaystyle 4\cdot 3 \cdot 21 \color{green}{ \vee} 144{\small , } \)

\(\displaystyle 252 \color{green}{ \vee} 144{\small .} \)

Так как

\(\displaystyle 252 \color{green}{ >} 144{\small ,} \)

то

\(\displaystyle 2\cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{21} \color{green}{ >} 12{\small .} \)

Таким образом, искомый знак неравенства \(\displaystyle \color{green}{ \vee}\) – это \(\displaystyle \color{green}{ <} {\small .}\) Следовательно,

\(\displaystyle \sqrt{3}+\sqrt{21} \color{green}{ >} 6 {\small . } \)


Ответ: \(\displaystyle \sqrt{3}+ \sqrt{21} \color{green}{ >} 6{\small . } \)


Замечание / комментарий

Оценка корня

Сравнить числовые выражения \(\displaystyle \sqrt{3}+\sqrt{21}\) (положительного как сумма положительных корней) и \(\displaystyle 6\) можно представляя корень из числа как десятичную дробь.

Так как

 \(\displaystyle \color{green}{\sqrt{3}=1{,}7\ldots}\) и \(\displaystyle \color{blue}{\sqrt{21}=4{,}5\ldots}\)

то 

\(\displaystyle \color{green}{\sqrt{3}}+\color{blue}{\sqrt{21}}=\color{green}{1{,}7\ldots}+\color{blue}{4{,}5\ldots} > 6 {\small .}\)

И, следовательно,

\(\displaystyle \sqrt{3}+\sqrt{21} > 6 {\small . } \)