Сравните числа:
\(\displaystyle \sqrt{3}+\sqrt{21}\)\(\displaystyle 6\)
Число \(\displaystyle \sqrt{3}+\sqrt{21}\) положительно как сумма положительных корней.
Сравним два положительных числа \(\displaystyle \sqrt{3}+\sqrt{21}\) и \(\displaystyle 6{\small .}\)
Обозначим неизвестный знак как \(\displaystyle \color{green}{ \vee} {\small .}\) Тогда
\(\displaystyle \sqrt{3}+\sqrt{21} \color{green}{ \vee} 6 {\small . } \)
Если положительные числа возвести в квадрат, то знак неравенства сохранится, то есть
\(\displaystyle (\sqrt{3}+\sqrt{21})^2 \color{green}{ \vee} 6^2 {\small , } \)
\(\displaystyle 3+2\cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{21}+21 \color{green}{ \vee} 36 {\small . } \)
Перенесем все числа в правую часть неравенства, а выражение с корнем оставим в левой части:
\(\displaystyle 2\cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{21} \color{green}{ \vee} 36 -21 -3{\small , } \)
\(\displaystyle 2\cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{21} \color{green}{ \vee} 12{\small . } \)
Для того чтобы сравнить два положительных числа \(\displaystyle 2\cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{21}\) и \(\displaystyle 12{\small ,}\) сравним квадраты этих чисел:
\(\displaystyle (2\cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{21})^2 \color{green}{ \vee} 12^2{\small , } \)
\(\displaystyle 2^2\cdot (\sqrt{3}\,)^2 \cdot (\sqrt{21}\,)^2 \color{green}{ \vee} 144{\small , } \)
\(\displaystyle 4\cdot 3 \cdot 21 \color{green}{ \vee} 144{\small , } \)
\(\displaystyle 252 \color{green}{ \vee} 144{\small .} \)
Так как
\(\displaystyle 252 \color{green}{ >} 144{\small ,} \)
то
\(\displaystyle 2\cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{21} \color{green}{ >} 12{\small .} \)
Таким образом, искомый знак неравенства \(\displaystyle \color{green}{ \vee}\) – это \(\displaystyle \color{green}{ <} {\small .}\) Следовательно,
\(\displaystyle \sqrt{3}+\sqrt{21} \color{green}{ >} 6 {\small . } \)
Ответ: \(\displaystyle \sqrt{3}+ \sqrt{21} \color{green}{ >} 6{\small . } \)
[rem for="Оценка корня"]
Сравнить числовые выражения \(\displaystyle \sqrt{3}+\sqrt{21}\) и \(\displaystyle 6\) можно, представляя корень из числа как десятичную дробь.
Так как
\(\displaystyle \color{green}{\sqrt{3}=1{,}7\ldots}\) и \(\displaystyle \color{blue}{\sqrt{21}=4{,}5\ldots}\)
то
\(\displaystyle \color{green}{\sqrt{3}}+\color{blue}{\sqrt{21}}=\color{green}{1{,}7\ldots}+\color{blue}{4{,}5\ldots} > 6 {\small .}\)
И, следовательно,
\(\displaystyle \sqrt{3}+\sqrt{21} > 6 {\small . } \)
[/rem]