Skip to main content

Теория: Свойства умножения и деления степеней

Задание

 Найдите показатель степени:

\(\displaystyle {\displaystyle\frac{4^5\cdot 7^8}{4^3\cdot 7^4}}=(4^5\cdot 7^8):(4^3\cdot 7^4)\,\) \(\displaystyle =\) \(\displaystyle \,4\)

 

\(\displaystyle \cdot\) \(\displaystyle \,7\)

 

 

Решение

Правило

Частное степеней

Пусть \(\displaystyle a\) – ненулевое число, \(\displaystyle n,\, m\) – натуральные числа, причем \(\displaystyle n\ge m\), тогда

\(\displaystyle {\bf \frac{a^{\,n}}{a^{\,m}}}= a^{\,n}:a^{\,m}=a^{\,n\,-\,m}.\)

Менее формально, при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются.

 

\(\displaystyle {\displaystyle\frac{4^5\cdot 7^8}{4^3\cdot 7^4}}=(4^5\cdot 7^8):(4^3\cdot 7^4)=({\color{blue}4}^5\cdot {\color{red}7}^8):({\color{blue}4}^3\cdot {\color{red}7}^4)={\color{blue}4}^{5-3}\cdot {\color{red}7}^{8-4}= {\color{blue}4}^{\bf 2}\cdot {\color{red}7}^{\bf 4}\)

 

Пояснение

\(\displaystyle \small{\displaystyle\frac{4^5\cdot 7^8}{4^3\cdot 7^4}}\) \(\displaystyle \small=(4^5\cdot 7^8):(4^3\cdot 7^4)=({\color{blue}4}^5\cdot {\color{red}7}^8):({\color{blue}4}^3\cdot {\color{red}7}^4)=\)
   
 

\(\displaystyle \small{\displaystyle=\frac{\overbrace{4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4}^{\bf\color{blue}{5}\text{ раз}}\cdot \overbrace{7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 7}^{\bf\color{red}{8}\text{ раз}}}{\underbrace{4\cdot 4\cdot 4}_{{\bf\color{blue}3}\text{ раза}}\cdot \underbrace{7\cdot 7\cdot 7\cdot 7}_{{\bf\color{red}4}\text{ раза}}}} ={\displaystyle\frac{\overbrace{4\cdot 4\cdot \not4\cdot \not4\cdot \not4}^{\bf(\color{blue}{5}-\color{blue}{3})\text{ раз}}\cdot \overbrace{7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot \not7\cdot \not7\cdot \not7\cdot \not7}^{\bf(\color{red}{8}-\color{red}{4})\text{ раз}}}{\not4\cdot \not4\cdot \not4\cdot \not7\cdot \not7\cdot \not7\cdot \not7}}=\)

   
  \(\displaystyle \small=\overbrace{4\cdot 4}^{\bf\color{blue}{2}\text{ раза}}\cdot \overbrace{7\cdot 7\cdot 7\cdot 7}^{\bf\color{red}{4}\text{ раза}}=\color{blue}{4}^2\cdot \color{red}{7}^4\)