Сократите дробь \(\displaystyle \frac{2^2 \cdot 3^4\cdot 13 }{2^3\cdot3^2\cdot 71}\) (в ответе запишите несократимую дробь):
Для того чтобы сократить дробь \(\displaystyle \frac{a}{b}\) необходимо:
1) найти \(\displaystyle НОД(a,b)=c {\small ;}\)
2) разделить числитель и знаменатель на \(\displaystyle c=НОД(a,b){\small :}\)
\(\displaystyle \displaystyle\frac{a \, : \, c}{b \, : \, c}{\small .}\)
Полученная дробь является несократимой дробью, равной исходной.
Сократим дробь \(\displaystyle \frac{2^2 \cdot 3^4\cdot 13 }{2^3\cdot3^2\cdot 71}{\small :}\)
1. Находим \(\displaystyle НОД(2^2 \cdot 3^4\cdot 13, 2^3\cdot3^2\cdot 71)=2^2\cdot 3^2{\small .}\)
2. Поделим числитель на \(\displaystyle 2^2\cdot 3^2{\small :}\)
\(\displaystyle (2^2 \cdot 3^4\cdot 13):(2^2\cdot 3^2)=\frac{2^2 \cdot 3^4\cdot 13}{2^2\cdot 3^2}=2^{2-2}\cdot 3^{4-2}\cdot 13=2^0\cdot 3^2\cdot 13=9\cdot 13=117{\small .}\)
Поделим знаменатель на \(\displaystyle 2^2\cdot 3^2{\small :}\)
\(\displaystyle (2^3 \cdot 3^2\cdot 71):(2^2\cdot 3^2)=\frac{2^3 \cdot 3^2\cdot 71}{2^2\cdot 3^2}=2^{3-2}\cdot 3^{2-2}\cdot 71=2^1\cdot 3^0\cdot 71=2\cdot 71=142{\small .}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \frac{2^2 \cdot 3^4\cdot 13 }{2^3\cdot3^2\cdot 71}=\frac{(2^2 \cdot 3^4\cdot 13):(2^2\cdot 3^2)}{(2^3 \cdot 3^2\cdot 71):(2^2\cdot 3^2)}=\frac{117}{142}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{117}{142}{\small .}\)
Так как числитель и знаменатель дроби разложены на простые множители, то мы можем сократить общие простые множители в наименьших степенях:
\(\displaystyle \displaystyle\frac{2^2 \cdot 3^4\cdot 13 }{2^3\cdot3^2\cdot 71}=\frac{3^{\bf4-2}\cdot 13}{2^{\bf 3-2}\cdot 71}=\frac{3^2\cdot 13}{2^1\cdot 71}=\frac{117}{142}{\small .}\)