Skip to main content

Теория: Элементарные показательные уравнения

Задание

Решите уравнение:

\(\displaystyle 8^{3-x} = \left(\frac{1}{4}\right)^{x-1}.\)

\(\displaystyle x=\)
7
Решение

Перепишем обе части в виде степеней с основанием \(\displaystyle 2:\)

\(\displaystyle 8^{3-x} =(2^3)^{3-x} =2^{3(3-x)} = \color{blue}{ 2}^{9-3x},\)

\(\displaystyle \left(\frac{1}{4}\right)^{x-1} =(2^{-2})^{x-1} =2^{-2(x-1)} = \color{blue}{ 2}^{2-2x}.\)

Получим уравнение: 

\(\displaystyle \color{blue}{2}^{9-3x} = \color{blue}{2}^{2-2x}.\)

Так как основания левой и правой частей одинаковы, то показатели равны. Следовательно,

\(\displaystyle 9-3x = 2-2x;\)

\(\displaystyle -3x+2x= 2-9;\)

\(\displaystyle -x= -7;\)

\(\displaystyle x = 7.\)

Ответ: \(\displaystyle 7.\)