Skip to main content

Теория: 01 Равносильность квадратичного неравенства и систем линейных неравенств

Задание

Запишите системы линейных неравенств, эквивалентных квадратичному неравенству

\(\displaystyle (x-7)(x-4)>0{\small.}\)

\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \)
\(\displaystyle x-7\)\(\displaystyle 0{\small ,}\)
\(\displaystyle x-4\)\(\displaystyle 0\)

или

\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \)
\(\displaystyle x-7\)\(\displaystyle 0{\small ,}\)
\(\displaystyle x-4\)\(\displaystyle 0{\small .}\)

 

Решение

Произведение двух чисел \(\displaystyle a\cdot b >0\) в том случае, когда

  • либо \(\displaystyle a>0{ \small ,}\, b>0\) – оба числа положительны,
  • либо \(\displaystyle a<0{ \small ,}\, b<0\) – оба числа отрицательны.

Значит, все решения неравенства \(\displaystyle (x-7)(x-4)>0\) получаются, когда

  • либо \(\displaystyle x-7>0{ \small ,}\, x-4>0\) – оба множителя положительны;
  • либо \(\displaystyle x-7<0{ \small ,}\, x-4<0\) – оба множителя отрицательны.

Если это переписать в виде систем, то получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-7&>0{ \small ,}\\x-4 &> 0\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-7&< 0{ \small ,}\\x-4& < 0{\small .}\end{aligned}\right.\)