Skip to main content

Теория: 01 Равносильность квадратичного неравенства и систем линейных неравенств

Задание

Запишите системы линейных неравенств, эквивалентных квадратичному неравенству

\(\displaystyle -2(x+7)(x-1)<0{\small.}\)

\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \)
\(\displaystyle x\),
\(\displaystyle x\)

или

\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \)
\(\displaystyle x\),
\(\displaystyle x\).

 

Решение

Упростим данное неравенство \(\displaystyle -2(x+7)(x-1)<0{ \small ,} \) разделив обе части на \(\displaystyle -2{\small .} \)

При этом в случае деления на отрицательное число поменяем знак неравенства на противоположный:

\(\displaystyle \color{blue}{ -2}(x+7)(x-1)<0 \,| :\color{blue}{ (-2)}\)

\(\displaystyle (x+7)(x-1)>0{\small .} \)


Запишем полученное неравенство \(\displaystyle (x+7)(x-1)>0 \) в виде систем эквивалентных линейных неравенств.

Произведение двух чисел \(\displaystyle a\cdot b >0\) в том случае, когда

  • либо \(\displaystyle a>0{ \small ,}\, b>0\) – оба числа положительны,
  • либо \(\displaystyle a<0{ \small ,}\, b<0\) – оба числа отрицательны.

Значит, все решения неравенства \(\displaystyle (x+7)(x-1)>0\) получаются, когда

  • либо \(\displaystyle x+7>0{ \small ,}\, x-1>0\) – оба множителя положительны;
  • либо \(\displaystyle x+7<0{ \small ,}\, x-1<0\) – оба множителя отрицательны.


Если это переписать в виде систем, то получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x+7&>0{ \small ,}\\x-1 &> 0\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x+7&< 0{ \small ,}\\x-1& < 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Перенесем все числа вправо во всех неравенствах, получая искомый ответ:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&>-7{ \small ,}\\x &> 1\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&< -7{ \small ,}\\x& < 1{\small .}\end{aligned}\right.\)