Запишите системы линейных неравенств, эквивалентных квадратичному неравенству
\(\displaystyle -5x(x-2)\le 0{\small.}\)
\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \) | \(\displaystyle x\), |
\(\displaystyle x\) |
или
\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \) | \(\displaystyle x\), |
\(\displaystyle x\). |
Упростим данное неравенство \(\displaystyle -5x(x-2)\le 0{ \small ,} \) разделив обе части на \(\displaystyle -5{\small .} \)
При этом в случае деления на отрицательное число поменяем знак неравенства на противоположный:
\(\displaystyle -5x(x-2)\le 0 \,| :\color{blue}{ (-5)}\)
\(\displaystyle x(x-2)\ge 0{\small .} \)
Запишем полученное неравенство \(\displaystyle x(x-2)\ge 0 \) в виде систем эквивалентных линейных неравенств.
Произведение двух чисел \(\displaystyle a\cdot b \ge 0\) в том случае, когда
- либо \(\displaystyle a\ge 0{ \small ,}\, b\ge 0\) – оба числа неотрицательны,
- либо \(\displaystyle a\le 0{ \small ,}\, b\le 0\) – оба числа неположительны.
Значит, все решения неравенства \(\displaystyle x(x-2)\ge 0\) получаются, когда
- либо \(\displaystyle x\ge 0{ \small ,}\, x-2\ge 0\) – оба множителя неотрицательны;
- либо \(\displaystyle x\le 0{ \small ,}\, x-2\le 0\) – оба множителя неположительны.
Если это переписать в виде систем, то получаем:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\ge 0{ \small ,}\\x-2 &\ge 0\end{aligned}\right.\) или \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\le 0{ \small ,}\\x-2& \le 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Перенося все числа вправо во всех неравенствах, получаем искомый ответ:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\ge 0{ \small ,}\\x&\ge 2\end{aligned}\right.\) или \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\le 0{ \small ,}\\x& \le 2{\small .}\end{aligned}\right.\)