Skip to main content

Теория: 01 Равносильность квадратичного неравенства и систем линейных неравенств

Задание

Запишите системы линейных неравенств, эквивалентных квадратичному неравенству

\(\displaystyle -5x(x-2)\le 0{\small.}\)

\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \)
\(\displaystyle x\),
\(\displaystyle x\)

или

\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \)
\(\displaystyle x\),
\(\displaystyle x\).

 

Решение

Упростим данное неравенство \(\displaystyle -5x(x-2)\le 0{ \small ,} \) разделив обе части на \(\displaystyle -5{\small .} \)

При этом в случае деления на отрицательное число поменяем знак неравенства на противоположный:

\(\displaystyle -5x(x-2)\le 0 \,| :\color{blue}{ (-5)}\)

\(\displaystyle x(x-2)\ge 0{\small .} \)


Запишем полученное неравенство \(\displaystyle x(x-2)\ge 0 \) в виде систем эквивалентных линейных неравенств.

Произведение двух чисел \(\displaystyle a\cdot b \ge 0\) в том случае, когда

  • либо \(\displaystyle a\ge 0{ \small ,}\, b\ge 0\) – оба числа неотрицательны,
  • либо \(\displaystyle a\le 0{ \small ,}\, b\le 0\) – оба числа неположительны.

Значит, все решения неравенства \(\displaystyle x(x-2)\ge 0\) получаются, когда

  • либо \(\displaystyle x\ge 0{ \small ,}\, x-2\ge 0\) – оба множителя неотрицательны;
  • либо \(\displaystyle x\le 0{ \small ,}\, x-2\le 0\) – оба множителя неположительны.


Если это переписать в виде систем, то получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\ge 0{ \small ,}\\x-2 &\ge 0\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\le 0{ \small ,}\\x-2& \le 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Перенося все числа вправо во всех неравенствах, получаем искомый ответ:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\ge 0{ \small ,}\\x&\ge 2\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\le 0{ \small ,}\\x& \le 2{\small .}\end{aligned}\right.\)