Skip to main content

Теория: 01 Равносильность квадратичного неравенства и систем линейных неравенств

Задание

Запишите системы линейных неравенств, эквивалентных квадратичному неравенству

\(\displaystyle -2x^2+2x+12\le 0{\small.}\)

\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \)
\(\displaystyle x\),
\(\displaystyle x\)

или

\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \)
\(\displaystyle x\),
\(\displaystyle x\).

 

Решение

Вынесем общий множитель за скобки:

\(\displaystyle -2x^2+2x+12=-2(x^2-x-6){\small .} \)

Получили неравенство \(\displaystyle -2(x^2-x-6)\le 0{\small .} \)

Упростим это неравенство, разделив обе его части на \(\displaystyle -2{\small . } \) При этом знак неравенства поменяем на противоположный:

\(\displaystyle \color{blue}{ -2}(x^2-x-6)\le 0 \,| : (\color{blue}{ -2})\)

\(\displaystyle x^2-x-6\ge 0{\small .} \)


Разложим квадратный трехчлен \(\displaystyle x^2-x-6 \) на множители.

\(\displaystyle x^2-x-6=(x-3)(x+2) \)

Выделим коэффициенты:

\(\displaystyle x^2-x-6=x^2-1\cdot x-6=\color{red}{ 1}\cdot x^2\color{green}{ -1}\cdot x\color{blue}{ -6}{\small .}\)

Тогда \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}, \color{green}{ b}=\color{green}{ -1}, \color{blue}{ c}=\color{blue}{ -6}{\small .} \)

Составим с данным трехчленом квадратное уравнение:

\(\displaystyle x^2-x-6=0{ \small ,} \)

и найдем его корни.

Вычислим дискриминант. Тогда

\(\displaystyle {\rm D}= \color{green}{(-1)}^2-4\cdot (\color{blue}{ -6})=1+24=25\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 25}=5{\small .} \)

Найдем корни уравнения:

\(\displaystyle x_1= \frac{-(-1)+5}{2}=\frac{6}{2}=3{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_2= \frac{-(-1)-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2{\small .}\)

Теперь разложим трехчлен на множители, используя правило.

Правило

Разложение на множители

\(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=\color{red}{ a}(X-x_1)(X-x_2){ \small ,}\)

где \(\displaystyle x_1 \) и \(\displaystyle x_2 \) – корни квадратного уравнения \(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=0{\small .}\)

В нашем случае старший коэффициент \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}{ \small ,} \) а корни равны \(\displaystyle 3\) и \(\displaystyle -2{\small .} \)

Значит,

\(\displaystyle x^2-x-6=\color{red}{ 1}\cdot (x-3)(x-(-2))=(x-3)(x+2) {\small .}\)

Значит, неравенство \(\displaystyle x^2-x-6\ge 0 \) превращается в неравенство

\(\displaystyle (x-3)(x+2)\ge 0{\small .}\)


Запишем его в виде системы эквивалентных линейных неравенств.

Все решения неравенства \(\displaystyle (x-3)(x+2)\ge 0\) получаются, когда

  • либо \(\displaystyle x-3\ge 0{ \small ,}\, x+2\ge 0\) – оба множителя неотрицательны;
  • либо \(\displaystyle x-3\le 0{ \small ,}\, x+2\le 0\) – оба множителя неположительны.


Если это переписать в виде систем, то получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-3&\ge 0{ \small ,}\\x+2 &\ge 0\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-3&\le 0{ \small ,}\\x+2& \le 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Перенося все числа вправо во всех неравенствах, получаем искомый ответ:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\ge 3{ \small ,}\\x &\ge -2\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\le 3{ \small ,}\\x& \le -2{\small .}\end{aligned}\right.\)