Skip to main content

Теория: 01 Равносильность квадратичного неравенства и систем линейных неравенств

Задание

Запишите системы линейных неравенств, эквивалентных квадратичному неравенству

\(\displaystyle x^2-2x-15\le 0{\small.}\)

\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \)
\(\displaystyle x\),
\(\displaystyle x\)

или

\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \)
\(\displaystyle x\),
\(\displaystyle x\).

 

Решение

Разложим квадратный трехчлен \(\displaystyle x^2-2x-15 \) на множители.

\(\displaystyle x^2-2x-15=(x+3)(x-5) \)

Выделим коэффициенты:

\(\displaystyle x^2-2x-15=\color{red}{ 1}\cdot x^2\color{green}{ -2}\cdot x\color{blue}{ -15}{\small .}\)

Тогда \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}, \color{green}{ b}=\color{green}{ -2}, \color{blue}{ c}=\color{blue}{ -15}{\small .} \)

Составим с данным трехчленом квадратное уравнение:

\(\displaystyle x^2-2x-15=0{ \small ,} \)

и найдем его корни.

Вычислим дискриминант. Тогда

\(\displaystyle {\rm D}= \color{green}{(-2)}^2-4\cdot (\color{blue}{ -15})=4+60=64\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 64}=8{\small .} \)

Найдем корни уравнения:

\(\displaystyle x_1=\frac{-(-2)-8}{2}=\frac{-6}{2}=-3{\small .}\)

\(\displaystyle x_2= \frac{-(-2)+8}{2}=\frac{10}{2}=5{ \small ,}\)

Теперь разложим трехчлен на множители, используя правило.

Правило

Разложение на множители

\(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=\color{red}{ a}(X-x_1)(X-x_2){ \small ,}\)

где \(\displaystyle x_1 \) и \(\displaystyle x_2 \) – корни квадратного уравнения \(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=0{\small .}\)

В нашем случае старший коэффициент \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}{ \small ,} \) а корни равны \(\displaystyle -3\) и \(\displaystyle 5{\small .} \)

Значит,

\(\displaystyle x^2-2x-15=\color{red}{ 1}\cdot (x-3)(x-(-5))=(x+3)(x-5) {\small .}\)

Значит, неравенство \(\displaystyle x^2-2x-15\le 0 \) превращается в неравенство

\(\displaystyle (x+3)(x-5)\le 0{\small .}\)


Запишем его в виде системы эквивалентных линейных неравенств.

Все решения неравенства \(\displaystyle (x+1)(x-5)\le 0\) получаются, когда

  • либо \(\displaystyle x+1\ge 0{ \small ,}\, x-5\le 0\) – первый множитель неотрицательный, второй неположительный;
  • либо \(\displaystyle x+1\le 0{ \small ,}\, x-5\ge 0\) – первый множитель неположительный, второй неотрицательный.


Если это переписать в виде систем, то получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x+3&\ge 0{ \small ,}\\x-5 &\le 0\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x+3&\le 0{ \small ,}\\x-5& \ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Перенося все числа вправо во всех неравенствах, получаем искомый ответ:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\ge -3{ \small ,}\\x &\le 5\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\le -3{ \small ,}\\x& \ge 5{\small .}\end{aligned}\right.\)