Skip to main content

Теория: 06 Эквивалентность биквадратного неравенства системе неравенств

Задание

Запишите системы квадратичных неравенств, эквивалентных биквадратному неравенству:

\(\displaystyle (x^2+3)(x^2-7)\le 0{\small.}\)

\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \)
\(\displaystyle t\),
\(\displaystyle t\)

или

\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \)
\(\displaystyle t\),
\(\displaystyle t\).

 

Решение

Сделаем замену \(\displaystyle \color{red}{ t}=\color{blue}{ x^2} \) в неравенстве \(\displaystyle (\color{blue}{ x^2}+3)(\color{blue}{ x^2}-7)\ge 0{\small .} \) Получаем:

\(\displaystyle (\color{red}{ t}+3)(\color{red}{ t}-7)\ge 0 \)

Запишем неравенство \(\displaystyle (t+3)(t-7)\le 0 \) в виде системы эквивалентных линейных неравенств.

Произведение двух чисел \(\displaystyle a\cdot b \le 0\) в том случае, когда

  • либо \(\displaystyle a\ge 0{ \small ,}\, b\le 0\) – первое число неотрицательно, второе неположительно;
  • либо \(\displaystyle a\le 0{ \small ,}\, b\ge 0\) – первое число неположительно, второе неотрицательно.

Значит, все решения неравенства \(\displaystyle (t+3)(t-7)\le 0\) получаются, когда

  • либо \(\displaystyle t+3\ge 0{ \small ,}\, t-7\le 0\) – первый множитель неотрицательный, второй неположительный,
  • либо \(\displaystyle t+3\le 0{ \small ,}\, t-7\ge 0\) – первый множитель неположительный, второй неотрицательный.


Если это переписать в виде систем, то получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t+3&\ge 0{ \small ,}\\t-7 &\le 0\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t+3&\le 0{ \small ,}\\t-7& \ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Перенося все числа вправо, получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t&\ge -3{ \small ,}\\t&\le 7\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t&\le -3{ \small ,}\\t& \ge 7{\small .}\end{aligned}\right.\)