Skip to main content

Теория: 06 Эквивалентность биквадратного неравенства системе неравенств

Задание

Запишите системы квадратичных неравенств, эквивалентных биквадратному неравенству:

\(\displaystyle x^4-15x^2+26>0{\small.}\)

\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \)
\(\displaystyle t\),
\(\displaystyle t\)

или

\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \)
\(\displaystyle t\),
\(\displaystyle t\).


Решите получившуюся систему неравенств:

\(\displaystyle t\) или \(\displaystyle t\).

Решение

Представим \(\displaystyle x^4\) как \(\displaystyle (x^2)^2\) в биквадратном трехчлене \(\displaystyle x^4-15x^2+26{\small : } \)

\(\displaystyle x^4-15x^2+26= (\color{blue}{ x^2})^2-15\color{blue}{ x^2}+26{\small .} \)

Сделаем замену \(\displaystyle t=\color{blue}{ x^2}{ \small .} \) Получаем многочлен второй степени:

\(\displaystyle t^2-15t+26{\small .} \)

Найдем его корни и разложим на множители.

\(\displaystyle t^2-15t+26=(t-13)(t-2) \)

Выделим коэффициенты:

\(\displaystyle t^2-15t+26=\color{red}{ 1}\cdot t^2\color{green}{ -15}t+\color{blue}{ 26}{\small .}\)

Тогда \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}, \color{green}{ b}=\color{green}{ -15}, \color{blue}{ c}=\color{blue}{ 26}{\small .} \)

Решим квадратное уравнение:

\(\displaystyle t^2-15t+26=0{ \small .} \)

 

Дискриминант:

\(\displaystyle {\rm D}= (\color{green}{-15})^2-4\cdot \color{red}{ 1}\cdot \color{blue}{ 26}=225-104=121\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 121}=11{\small .} \)

Корни уравнения:

\(\displaystyle t_1= \frac{-(-15)+11}{2}=\frac{26}{2}=13{ \small ,}\)

\(\displaystyle t_2= \frac{-(-15)-11}{2}=\frac{4}{2}=2{\small .}\)

Разложим многочлен второй степени на множители по правилу.

Правило

Разложение на множители

\(\displaystyle \color{red}{ a}t^2+bt+c=\color{red}{ a}(t-t_1)(t-t_2){ \small ,}\)

где \(\displaystyle t_1 \) и \(\displaystyle t_2 \) – корни квадратного уравнения \(\displaystyle \color{red}{ a}t^2+bt+c=0{\small .}\)

В нашем случае старший коэффициент \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}{ \small ,} \) а корни равны \(\displaystyle 13\) и \(\displaystyle 2{\small .} \)

Значит,

\(\displaystyle t^2-15t+26=\color{red}{ 1}\cdot (t-13)(t-2)=(t-13)(t-2) {\small .}\)

Запишем неравенство  \(\displaystyle (t-13)(t-2)>0 \) в виде систем эквивалентных неравенств.

Все решения неравенства \(\displaystyle (t-13)(t-2)>0\) получаются, когда

  • либо \(\displaystyle t-13>0{ \small ,}\, t-2>0\) – оба множителя положительны;
  • либо \(\displaystyle t-13<0{ \small ,}\, t-2<0\) – оба множителя отрицательны.

Если это переписать в виде систем, то:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t-13&>0{ \small ,}\\t-2&>0\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t-13&< 0{ \small ,}\\t-2& <0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Преобразовывая линейные  неравенства, получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t&>13{ \small ,}\\t&>2\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}t&< 13{ \small ,}\\t& < 2{\small .}\end{aligned}\right.\)


Решим получившиеся системы.

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} t&> 13{ \small ,}\\ t&>2 \end{aligned} \right.\)

Неравенство \(\displaystyle t>13\) соответствует множеству точек на прямой:


Неравенство \(\displaystyle t>2\) соответствует множеству точек на прямой:


Таким образом, переменная \(\displaystyle t\) одновременно больше \(\displaystyle 13\) и больше \(\displaystyle 2{\small :}\)


Получившееся пересечение и будет решением исходной системы неравенств.

Значит, решения – \(\displaystyle t\in (13;+\infty){\small .} \)

Или, записывая в виде неравенства,

\(\displaystyle t>13{\small .} \)


 

или

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} t&< 13{ \small ,}\\ t& <2 \end{aligned} \right.\)

Неравенство \(\displaystyle t<13\) соответствует множеству точек на прямой:


Неравенство \(\displaystyle t<2\) соответствует множеству точек на прямой:


Таким образом, переменная \(\displaystyle t\) одновременно меньше \(\displaystyle 13\) и меньше \(\displaystyle 2{\small :}\)


Получившееся пересечение и будет решением исходной системы неравенств.

Значит, решения – \(\displaystyle t\in (-\infty;2){\small .} \)

Или, записывая в виде неравенства,

\(\displaystyle t<2{\small .} \)

 

 

Объединяя получившиеся решения, получаем ответ:

\(\displaystyle t<2\) или \(\displaystyle t>13{\small .} \)