Решите неравенство
\(\displaystyle x^4-8x^2-9 > 0{ \small ,}\)
если известно, что оно эквивалентно объединению решений неравенств
\(\displaystyle x^2<-1\) и \(\displaystyle x^2>9{\small .}\)
Эквивалентность неравенства объединению неравенств означает, что решения неравенства \(\displaystyle x^4-8x^2-9 > 0\) совпадают с объединением решений неравенств
\(\displaystyle x^2<-1\) и \(\displaystyle x^2>9{\small .}\)
Поэтому достаточно сначала найти решения неравенств \(\displaystyle x^2<-1\) и \(\displaystyle x^2>9{\small ,}\) а затем объединить их.
Так как \(\displaystyle x^2 \ge 0\) для любого числа \(\displaystyle x{ \small ,}\) то в неравенстве
\(\displaystyle x^2<-1\)
слева стоит неотрицательное число, а справа – отрицательное.
Однако неотрицательное число не может быть меньше отрицательного числа.
Значит, неравенство \(\displaystyle x^2<-1\) не имеет решений.
Объединяя решения, получаем ответ:
\(\displaystyle x\in (-\infty;-3)\cup (3;+\infty){\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle x\in (-\infty;-3)\cup (3;+\infty){\small .} \)
Для решения элементарных квадратичных неравенства можно воспользоваться формулами.
Для \(\displaystyle a> 0\) верны следующие утверждения:
- \(\displaystyle x^2\)\(\displaystyle <\)\(\displaystyle a\) имеет решение \(\displaystyle \sqrt{a}{\small}\) \(\displaystyle <\) \(\displaystyle x<\sqrt{a}{\small ; }\)
- \(\displaystyle x^2\le a\) имеет решение \(\displaystyle -\sqrt{a}\le x\le \sqrt{a}{\small ; }\)
- \(\displaystyle x^2>a\) имеет решение \(\displaystyle x<-\sqrt{a}\) или \(\displaystyle x>\sqrt{a}{\small ; }\)
- \(\displaystyle x^2 \ge a\) имеет решение \(\displaystyle x\le -\sqrt{a}\) или \(\displaystyle x\ge \sqrt{a}{\small . }\)
Для \(\displaystyle a<0\) верны следующие утверждения:
- \(\displaystyle x^2\)\(\displaystyle <\)\(\displaystyle a\) – решений нет;
- \(\displaystyle x^2\le a\) – решений нет;
- \(\displaystyle x^2>a\) – все числа являются решениями;
- \(\displaystyle x^2\ge a\) – все числа являются решениями.
Используя эти формулы, получаем, что
- неравенство \(\displaystyle x^2<-1\) не имеет решений;
- неравенство \(\displaystyle x^2>9\) имеет решения \(\displaystyle x<-3\) или \(\displaystyle x>3{\small .}\)