Skip to main content

Теория: 06 Эквивалентность биквадратного неравенства системе неравенств

Задание

Решите неравенство

\(\displaystyle x^4-8x^2-9 > 0{ \small ,}\)

если известно, что оно эквивалентно объединению решений неравенств

\(\displaystyle x^2<-1\) и \(\displaystyle x^2>9{\small .}\)

\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ
Решение

Эквивалентность неравенства объединению неравенств означает, что решения неравенства \(\displaystyle x^4-8x^2-9 > 0\) совпадают с объединением решений неравенств

\(\displaystyle x^2<-1\) и \(\displaystyle x^2>9{\small .}\)

Поэтому достаточно сначала найти решения неравенств \(\displaystyle x^2<-1\) и \(\displaystyle x^2>9{\small ,}\) а затем объединить их.

Неравенство \(\displaystyle x^2<-1\) не имеет решений

Так как \(\displaystyle x^2 \ge 0\) для любого числа \(\displaystyle x{ \small ,}\) то в неравенстве

\(\displaystyle x^2<-1\)

слева стоит неотрицательное число, а справа – отрицательное.

Однако неотрицательное число не может быть меньше отрицательного числа.

Значит, неравенство \(\displaystyle x^2<-1\) не имеет решений.

Неравенство \(\displaystyle x^2>9\) имеет решения \(\displaystyle x\in (-\infty;-3)\cup (3;+\infty) \)

Объединяя решения, получаем ответ:

\(\displaystyle x\in (-\infty;-3)\cup (3;+\infty){\small .} \)


Ответ: \(\displaystyle x\in (-\infty;-3)\cup (3;+\infty){\small .} \)

Замечание / комментарий

Для решения элементарных квадратичных неравенства можно воспользоваться формулами.

 Для \(\displaystyle a> 0\) верны следующие утверждения:

  • \(\displaystyle x^2\)\(\displaystyle <\)\(\displaystyle a\) имеет решение \(\displaystyle \sqrt{a}{\small}\)  \(\displaystyle <\) \(\displaystyle x<\sqrt{a}{\small ; }\) 
  • \(\displaystyle x^2\le a\) имеет решение \(\displaystyle -\sqrt{a}\le x\le \sqrt{a}{\small ; }\)
  • \(\displaystyle x^2>a\) имеет решение \(\displaystyle x<-\sqrt{a}\) или  \(\displaystyle x>\sqrt{a}{\small ; }\)
  • \(\displaystyle x^2 \ge a\) имеет решение \(\displaystyle x\le -\sqrt{a}\) или  \(\displaystyle x\ge \sqrt{a}{\small . }\)

Для \(\displaystyle a<0\) верны следующие утверждения:

  • \(\displaystyle x^2\)\(\displaystyle <\)\(\displaystyle a\) – решений нет;
  • \(\displaystyle x^2\le a\) – решений нет;
  • \(\displaystyle x^2>a\) – все числа являются решениями;
  • \(\displaystyle x^2\ge a\) – все числа являются решениями.

Используя эти формулы, получаем, что

  • неравенство \(\displaystyle x^2<-1\) не имеет решений;
  • неравенство \(\displaystyle x^2>9\) имеет решения \(\displaystyle x<-3\) или \(\displaystyle x>3{\small .}\)