Skip to main content

Теория: 06 Эквивалентность биквадратного неравенства системе неравенств

Задание

Решите неравенство

\(\displaystyle x^4+10x^2+9\le 0\)

если известно, что оно эквивалентно пересечению решений неравенств

\(\displaystyle x^2\ge -1\) и \(\displaystyle x^2\le -9.\)

\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ
Решение

Эквивалентность неравенства пересечению неравенств означает, что решения неравенства \(\displaystyle x^4+10x^2+9 \ge 0\) совпадают с пересечением решений неравенств

\(\displaystyle x^2\ge -1\) и \(\displaystyle x^2\le -9{\small .}\)

Поэтому достаточно сначала найти решения неравенств \(\displaystyle x^2\ge -1\) и \(\displaystyle x^2\le -9{\small ,}\) а затем найти их пересечение.

Неравенство \(\displaystyle x^2\ge -1\) имеет решения \(\displaystyle x\in (-\infty;+\infty) \)

Так как \(\displaystyle x^2 \ge 0\) для любого числа \(\displaystyle x{ \small ,}\) то в неравенстве

\(\displaystyle x^2\ge -1\)

слева стоит положительное число, а справа – отрицательное.

Однако положительное число всегда больше отрицательного числа.

Значит, для неравенства \(\displaystyle x^2\ge -1\) все числа являются решениями.

То есть

\(\displaystyle x\in (-\infty;+\infty){\small .} \)

Неравенство \(\displaystyle x^2\le -9\) не имеет решений

Так как \(\displaystyle x^2 \ge 0\) для любого числа \(\displaystyle x{ \small ,}\) то в неравенстве

\(\displaystyle x^2\le -9\)

слева стоит положительное число, а справа – отрицательное.

Однако положительное число не может быть меньше либо равно отрицательного числа.

Значит, неравенство \(\displaystyle x^2\le -9\) не имеет решений.

Найдем пересечение решений неравенств \(\displaystyle x^2\ge -1\) и \(\displaystyle x^2\le -9{\small .}\)

Тогда \(\displaystyle x\in (-\infty;+\infty)\) и, одновременно, \(\displaystyle x \) не имеет решений (то есть пусто).

Значит, пересечение решений неравенств \(\displaystyle x^2\ge -1\) и \(\displaystyle x^2\le -9\) также пусто.


Ответ: \(\displaystyle x\in \empty{\small .} \)

Замечание / комментарий

Для решения элементарных квадратичных неравенства можно воспользоваться формулами.

 Для \(\displaystyle a\ge 0\) верны следующие утверждения:

  • \(\displaystyle x^2\le a\) имеет решение \(\displaystyle -\sqrt{a}\le x\le \sqrt{a}{\small ; }\)
  • \(\displaystyle x^2\le a\) имеет решение \(\displaystyle -\sqrt{a}\le x\le \sqrt{a}{\small ; }\)
  • \(\displaystyle x^2\ge a\) имеет решение \(\displaystyle x\le -\sqrt{a}\) или  \(\displaystyle x\ge \sqrt{a}{\small ; }\)
  • \(\displaystyle x^2 \ge a\) имеет решение \(\displaystyle x\le -\sqrt{a}\) или  \(\displaystyle x\ge \sqrt{a}{\small . }\)

Для \(\displaystyle a\le 0\) верны следующие утверждения:

  • \(\displaystyle x^2\le a\) – решений нет;
  • \(\displaystyle x^2\le a\) – решений нет;
  • \(\displaystyle x^2\ge a\) – все числа являются решениями;
  • \(\displaystyle x^2\ge a\) – все числа являются решениями.

Используя эти формулы, получаем, что

  • неравенство \(\displaystyle x^2\ge -1\) имеет решениями все числа;
  • неравенство \(\displaystyle x^2\le -9\) не имеет решений.