Skip to main content

Теория: Вынесение множителя за скобки

Задание

Вынесите общий множитель со знаком минус за скобки так, чтобы члены в скобках не имели общего множителя:
 

\(\displaystyle 28xz-21xayz-7xtz=\)\(\displaystyle \big(\)\(\displaystyle \big)\)

Решение

Выражение \(\displaystyle 28xz-21xayz-7xtz\) состоит из трех элементарных выражений \(\displaystyle \color{blue}{28}\color{green}{xz}, \, \color{blue}{21}\color{green}{xayz}\) и \(\displaystyle \color{blue}{7}\color{green}{xtz}.\)

Для этих выражений нам необходимо найти такой общий множитель, чтобы при его вынесении за скобки оставшиеся в скобках элементарные выражения не имели общих множителей.

Вычислим этот множитель для \(\displaystyle 28xz, \, 21xayz\) и \(\displaystyle 7xtz\) как произведение наибольшего общего делителя числовых коэффициентов и общих параметров.

  1. Найдем наибольший общий делитель числовых коэффициентов \(\displaystyle \color{blue}{28},\, \color{blue}{21}\) и \(\displaystyle \color{blue}{7}.\)
    Воспользуемся разложением на множители или алгоритмом Евклида для последовательного нахождения наибольших общих делителей.
    Сначала найдем наибольший делитель первых двух коэффициентов: \(\displaystyle НОД(\color{blue}{28},\color{blue}{21})=7.\) Затем найдем наибольший общий делитель полученного числа и третьего коэффициента: \(\displaystyle НОД(7,\color{blue}{7})=7.\) Таким образом, наибольший общий делитель числовых коэффициентов равен \(\displaystyle {\bf 7}.\)
  2. Найдем общие параметры.
    Выражение \(\displaystyle 28\color{green}{xz}\) дает параметры \(\displaystyle \color{green}{x}\) и \(\displaystyle \color{green}{z}.\) Выражение \(\displaystyle 21\color{green}{xayz}\) дает параметры \(\displaystyle \color{green}{x}, \, \color{green}{a}, \, \color{green}{y}\) и \(\displaystyle \color{green}{z}.\) Выражение \(\displaystyle 7\color{green}{xtz}\) дает параметры \(\displaystyle \color{green}{x}, \, \color{green}{t}\) и \(\displaystyle \color{green}{z}.\) Данные выражения имеют два общих параметра  – \(\displaystyle {\pmb x}\) и \(\displaystyle {\pmb z}.\)

Значит, в выражении \(\displaystyle 28xz-21xayz-7xtz\) можно вынести за скобки общий множитель \(\displaystyle 7xz.\) Вынесем этот множитель со знаком минус, как того требует условие задачи:

\(\displaystyle 28xz-21xayz-7xtz=-7xz\left(\frac{28xz}{-7xz}-\frac{21xayz}{-7xz}-\frac{7xtz}{-7xz}\right)\)

и, следовательно,

\(\displaystyle 28xz-21xayz-7xtz=-7xz(-4+3ay+t\,).\)

Ответ: \(\displaystyle -7xz(-4+3ay+t\,).\)

Замечание / комментарий

Так как мы делили на \(\displaystyle -7xz,\)  то случай \(\displaystyle -7xz=0\) надо рассмотреть отдельно. В этом случае

\(\displaystyle 28xz-21xayz-7xtz=0\) и  \(\displaystyle -7xz(-4+3ay+t\,)=0\) и, следовательно,

\(\displaystyle 28xz-21xayz-7xtz=-7xz(-4+3ay+t\,).\)