Skip to main content

Теория: Дробь и отрицательный показатель степени (параметры)

Задание

Правило

Для любых a, ненулевого b и целого числа n верно

a:b^{\, n}=a \cdot b^{\,-\pmb{n}},

или

\displaystyle\frac{a}{b^{\, n}}=a \cdot b^{\, -\pmb{n}}.

Решение

Докажем правило, гласящее, что деление всегда можно заменить умножением.

Правило

Для любых a, ненулевого b и целого числа n верно

a:b^{\, n}=a \cdot b^{\,-\pmb{n}},

или

\displaystyle\frac{a}{b^{\, n}}=a \cdot b^{\, -\pmb{n}}.

Действительно, так как частное и есть дробь

a:b^{\, n}=\displaystyle\frac{a}{b^{\, n}},

то можно расписать:

a:b^{\, n}=a\cdot \displaystyle\frac{1}{b^{\,n}}, или \displaystyle\frac{a}{b^{\, n}}=a\cdot \displaystyle\frac{1}{b^{\,n}}.

По определению отрицательной степени, \displaystyle\frac{1}{b^{\, n}}=b^{\, -n}. Поэтому

a:b^{\, n}=a\cdot \displaystyle\frac{1}{b^{\,n}}=a\cdot b^{\, -n}, или \displaystyle\frac{a}{b^{\, n}}=a\cdot \displaystyle\frac{1}{b^{\,n}}=a\cdot b^{\, -n}.

Таким образом,

a:b^{\, n}=a \cdot b^{\,-\pmb{n}},

или

\displaystyle\frac{a}{b^{\, n}}=a \cdot b^{\, -\pmb{n}}.