Skip to main content

Теория: Дробь и отрицательный показатель степени (параметры)

Задание

Правило

Для любых \(\displaystyle a,\) ненулевого \(\displaystyle b\) и целого числа \(\displaystyle n\) верно

\(\displaystyle a:b^{\, n}=a \cdot b^{\,-\pmb{n}},\)

или

\(\displaystyle \frac{a}{b^{\, n}}=a \cdot b^{\, -\pmb{n}}.\)

Решение

Докажем правило, гласящее, что деление всегда можно заменить умножением.

Правило

Для любых \(\displaystyle a,\) ненулевого \(\displaystyle b\) и целого числа \(\displaystyle n\) верно

\(\displaystyle a:b^{\, n}=a \cdot b^{\,-\pmb{n}},\)

или

\(\displaystyle \frac{a}{b^{\, n}}=a \cdot b^{\, -\pmb{n}}.\)

Действительно, так как частное и есть дробь

\(\displaystyle a:b^{\, n}=\frac{a}{b^{\, n}},\)

то можно расписать:

\(\displaystyle a:b^{\, n}=a\cdot \frac{1}{b^{\,n}},\) или \(\displaystyle \frac{a}{b^{\, n}}=a\cdot \frac{1}{b^{\,n}}.\)

По определению отрицательной степени, \(\displaystyle \frac{1}{b^{\, n}}=b^{\, -n}.\) Поэтому

\(\displaystyle a:b^{\, n}=a\cdot \frac{1}{b^{\,n}}=a\cdot b^{\, -n},\) или \(\displaystyle \frac{a}{b^{\, n}}=a\cdot \frac{1}{b^{\,n}}=a\cdot b^{\, -n}.\)

Таким образом,

\(\displaystyle a:b^{\, n}=a \cdot b^{\,-\pmb{n}},\)

или

\(\displaystyle \frac{a}{b^{\, n}}=a \cdot b^{\, -\pmb{n}}.\)