Skip to main content

Теория: Дробь и отрицательный показатель степени (параметры)

Задание

Для любых ненулевых чисел \(\displaystyle a,\, b\) найдите показатели степеней:

 

\(\displaystyle a^{\,31}: b^{\,-10}:a^{\,-17}\cdot b^{\,-23} = a\)
\(\displaystyle \cdot \, b\)
Решение

Применим правило замены деления на умножение дважды.

Правило

Для любых \(\displaystyle a,\) ненулевого \(\displaystyle b\) и целого числа \(\displaystyle n\) верно

\(\displaystyle a:b^{\, n}=a \cdot b^{\,-\pmb{n}}.\)

Первый раз применим его к делению на \(\displaystyle b^{\,-10}\):

\(\displaystyle a^{\,31}\color{blue}{: b^{\,-10}}: a^{\,-17}\cdot b^{\,-23}=a^{\,31}\cdot \color{blue}{ b^{\,-(-10)}} : a^{\,-17}\cdot b^{\,-23}=a^{\,31} \cdot \color{blue}{b^{\,10}}: a^{\,-17}\cdot b^{\,-23}.\)

Второй раз – к делению на \(\displaystyle {a}^{\,-17}\):

\(\displaystyle a^{\,31} \cdot b^{\,10}\color{green}{: {a}^{\,-17}}\cdot b^{\,-23}=a^{\,31} \cdot b^{\,10}\cdot \color{green}{ {a}^{\,-(-17)}}\cdot b^{\,-23}=a^{\,31} \cdot b^{\,10}\cdot \color{green}{ {a}^{\,17}}\cdot b^{\,-23}.\)

В результате имеем:

\(\displaystyle a^{\,31}: b^{\,-10}: {a}^{\,-17}\cdot b^{\,-23}=a^{\,31} \cdot b^{\,10}\cdot a^{\,17}\cdot b^{\,-23}.\)

Далее по правилу сложения степеней получаем:

\(\displaystyle \color{green}{a^{\, 31}}\cdot \color{blue}{b^{\,10}} \cdot \color{green}{a^{\, 17}}\cdot \color{blue}{b^{\,-23}}= \color{green}{a^{\,31+17}}\cdot \color{blue}{b^{\, 10+(-23)}}= \color{green}{a^{\,48}}\cdot \color{blue}{b^{\,-13}}.\)

Таким образом,

\(\displaystyle a^{\,31}: b^{\,-10}:a^{\,-17}\cdot b^{\,-23}=a^{\, 48}\cdot b^{\, -13}.\)

Ответ: \(\displaystyle a^{\, 48}\cdot b^{\, -13}.\)