Skip to main content

Теория: Натуральный и нулевой показатель степени (выражения)

Задание

Найдите показатели степеней выражений для всех чисел \(\displaystyle a,\, b,\, x,\, y\) и \(\displaystyle t\), таких, что \(\displaystyle (4t)=\not 0:\)

 

\(\displaystyle (a+b)\cdot (x-y)\cdot (a+b)\cdot (a+b)\cdot (x-y)=(a+b)\)

\(\displaystyle \cdot \, (x-y)\)

\(\displaystyle \cdot \, (4t)\)

 

Решение

Так как в произведении

\(\displaystyle \color{red}{(a+b)}\cdot \color{blue}{(x-y)}\cdot \color{red}{(a+b)}\cdot \color{red}{(a+b)}\cdot \color{blue}{(x-y)}\)

\(\displaystyle (a+b)\) повторяется \(\displaystyle {\bf \color{red}3}\) раза,

\(\displaystyle (x-y)\) повторяется \(\displaystyle {\bf \color{blue}2}\) раза,

то

\(\displaystyle \color{red}{(a+b)}\cdot \color{blue}{(x-y)}\cdot \color{red}{(a+b)}\cdot \color{red}{(a+b)}\cdot \color{blue}{(x-y)}= (a+b)^{\:\bf \color{red} 3}\cdot (x-y)^{\:\bf \color{blue}2}.\)


В получившемся произведении присутствуют \(\displaystyle (a+b)\) и \(\displaystyle (x-y)\) и нет множителя \(\displaystyle (4t).\) Это означает, что \(\displaystyle (4t)\) встретилось ноль раз и, следовательно, в произведении оно стоит в нулевой степени:

\(\displaystyle (a+b)^{\: 3}\cdot (x-y)^{\:2}=(a+b)^{\:3}\cdot (x-y)^{\: 2}\cdot (4t)^{\: 0}.\)

Таким образом,

\(\displaystyle (a+b)\cdot (x-y)\cdot (a+b)\cdot (a+b)\cdot (x-y)= (a+b)^{\: 3}\cdot (x-y)^{\: 2}\cdot (4t)^{\: 0}.\)

Ответ: \(\displaystyle (a+b)^{\: 3}\cdot (x-y)^{\: 2}\cdot (4t)^{\: 0}.\)

 

Замечание / комментарий

Формальное доказательство присутствия ненулевого параметра \(\displaystyle (4t)\) в нулевой степени дается следующим образом.

В произведении

\(\displaystyle (a+b)^{\: 3}\cdot (x-y)^{\: 2}\)

присутствуют \(\displaystyle (a+b)\) и \(\displaystyle (x-y)\) и нет \(\displaystyle (4t).\) Так как любое ненулевое число в нулевой степени равно единице, и поэтому \(\displaystyle (4t)^{\: 0}=1,\) то

\(\displaystyle (a+b)^{\: 3}\cdot (x-y)^{\: 2}=(a+b)^{\: 3}\cdot (x-y)^{\: 2}\cdot \color{red}{1}= (a+b)^{\: 3}\cdot (x-y)^{\: 2}\cdot \color{red}{(4t)}^{\: 0}.\)