Skip to main content

Теория: Вынесение общего множителя и квадрат суммы

Задание

Вынесите общий множитель за скобки так, чтобы выполнялось равенство:
 

\(\displaystyle 10g^{\, 2}x+20gsx+10xs^{\, 2}=\)\(\displaystyle (g+s\,)^2\)

Решение

Вынесем такой общий множитель выражения \(\displaystyle 10g^{\, 2}x+20gsx+10xs^{\, 2}{\small , }\) чтобы члены выражения в скобках не имели общих множителей.

Такой множитель равен произведению наибольшего общего делителя коэффициентов и общих параметров в наименьших степенях.
 

1. Найдем общий множитель выражения \(\displaystyle 10g^{\, 2}x+20gsx+10xs^{\, 2}.\)

1.1. Вычислим наибольший общий делитель числовых коэффициентов \(\displaystyle 10,\, 20\) и \(\displaystyle 10.\) Вычисляя его через разложение на множители или алгоритм Евклида, получаем

\(\displaystyle НОД(10,\,20,\, 10)=10.\)

1.2. Найдем произведение общих параметров c наименьшими показателями степеней.

Для этого рассмотрим члены \(\displaystyle 10g^{\, 2}x,\, 20gsx, \, 10xs^{\, 2}\) и составим таблицу наличия параметров в каждом из этих членов.

 \(\displaystyle 10g^{\, 2}x\)\(\displaystyle 20gsx\)\(\displaystyle 10xs^{\, 2}\) 
\(\displaystyle g\)есть \(\displaystyle g^{\, 2}\)есть \(\displaystyle g=g^{\, 1}\)нет \(\displaystyle g\)не является общим параметром
\(\displaystyle s\)нет \(\displaystyle s\)есть \(\displaystyle s=s^{\, 1}\)есть \(\displaystyle s^{\, 2}\)не является общим параметром
\(\displaystyle x\)есть \(\displaystyle x=x^{\, 1}\)есть \(\displaystyle x=x^{\, 1}\)есть \(\displaystyle x=x^{\, 1}\)общий параметр

Следовательно, только \(\displaystyle x\) является общим параметром.

При этом:

параметр \(\displaystyle x\) встречается в \(\displaystyle 1,\, 1\) и \(\displaystyle 1\) степенях, откуда \(\displaystyle x^{\tiny \, \text{наименьший показатель степени}}=x^{\,1}.\)

Поэтому произведение общих параметров c наименьшими показателями степеней равно \(\displaystyle x^{\,1}=x.\)

Значит, искомый общий множитель выражения \(\displaystyle 10g^{\, 2}x+20gsx+10xs^{\, 2}\) равен \(\displaystyle 10x.\)


2. В исходном выражении вынесем \(\displaystyle 10x\) за скобки:

\(\displaystyle 10g^{\, 2}x+20gsx+10xs^{\, 2}=10x\cdot\left( \frac{10g^{\, 2}x}{10x}+\frac{20gsx}{10x}+\frac{10xs^{\, 2}}{10x}\right) =\)


\(\displaystyle \kern{17em}=10x \left( g^{\, 2}+2gs+s^{\, 2}\right).\)


3. Свернем выражение в скобках, воспользовавшись формулой для квадрата суммы:

\(\displaystyle 10x \left( g^{\, 2}+2gs+s^{\, 2}\right)=10x\,(g+s\,)^2.\)
 

Таким образом,

\(\displaystyle 10g^{\, 2}x+20gsx+10xs^{\, 2}={\bf 10}\pmb{x}\,(\pmb{g}+\pmb{s}\,)^{\bf 2}.\)

Ответ: \(\displaystyle {\bf 10}\pmb{x}\,(\pmb{g}+\pmb{s}\,)^{\bf 2}.\)