Найдите общий множитель и выделите полный квадрат суммы:
\(\displaystyle -150my^{\, 3}ab-240y^{\,2}bm^{\,2}a-96am^{\, 3}by=\)\(\displaystyle \big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Вынесем такой общий множитель выражения \(\displaystyle -150my^{\, 3}ab-240y^{\,2}bm^{\,2}a-96am^{\, 3}by,\) чтобы члены выражения в скобках не имели общих множителей.
Такой множитель равен произведению наибольшего общего делителя коэффициентов и общих параметров в наименьших степенях.
1. Найдем общий множитель выражения \(\displaystyle -150my^{\, 3}ab-240y^{\,2}bm^{\,2}a-96am^{\, 3}by.\)
1.1. Вычислим наибольший общий делитель числовых коэффициентов \(\displaystyle 150,\, 240\) и \(\displaystyle 96.\) Вычисляя его через разложение на множители или алгоритм Евклида, получаем
\(\displaystyle НОД(150,\,240,\, 96)=6.\)
1.2. Найдем произведение общих параметров c наименьшими показателями степеней.
Для этого рассмотрим члены \(\displaystyle 150my^{\, 3}ab,\, 240y^{\,2}bm^{\,2}a, \, 96am^{\, 3}by\) и составим таблицу наличия параметров в каждом из этих членов.
| \(\displaystyle 150my^{\, 3}ab\) | \(\displaystyle 240y^{\,2}bm^{\,2}a\) | \(\displaystyle 96am^{\, 3}by\) | ||
| \(\displaystyle m\) | есть \(\displaystyle m=m^{\, 1}\) | есть \(\displaystyle m^{\, 2}\) | есть \(\displaystyle m^{\, 3}\) | общий параметр |
| \(\displaystyle y\) | есть \(\displaystyle y^{\, 3}\) | есть \(\displaystyle y^{\, 2}\) | есть \(\displaystyle y=y^{\, 1}\) | общий параметр |
| \(\displaystyle a\) | есть \(\displaystyle a=a^{\, 1}\) | есть \(\displaystyle a=a^{\, 1}\) | есть \(\displaystyle a=a^{\, 1}\) | общий параметр |
| \(\displaystyle b\) | есть \(\displaystyle b=b^{\, 1}\) | есть \(\displaystyle b=b^{\, 1}\) | есть \(\displaystyle b=b^{\, 1}\) | общий параметр |
Следовательно, параметры \(\displaystyle m,\,y,\,a\) и \(\displaystyle b\) – это общие параметры.
При этом:- параметр \(\displaystyle m\) встречается в \(\displaystyle 1,\, 2\) и \(\displaystyle 3\) степенях, откуда \(\displaystyle m^{\tiny \, \text{наименьший показатель степени}}=m^{\,1};\)
- параметр \(\displaystyle y\) встречается в \(\displaystyle 3,\, 2\) и \(\displaystyle 1\) степенях, откуда \(\displaystyle y^{\tiny \, \text{наименьший показатель степени}}=y^{\,1};\)
- параметр \(\displaystyle a\) встречается в \(\displaystyle 1,\, 1\) и \(\displaystyle 1\) степенях, откуда \(\displaystyle a^{\tiny \, \text{наименьший показатель степени}}=a^{\,1};\)
- параметр \(\displaystyle b\) встречается в \(\displaystyle 1,\, 1\) и \(\displaystyle 1\) степенях, откуда \(\displaystyle b^{\tiny \, \text{наименьший показатель степени}}=b^{\,1}.\)
Поэтому произведение общих параметров c наименьшими показателями степеней равно
\(\displaystyle m^{\,1}y^{\,1}a^{\,1}b^{\,1}=myab.\)
Значит, искомый общий множитель выражения \(\displaystyle -150my^{\, 3}ab-240y^{\,2}bm^{\,2}a-96am^{\, 3}by\) равен \(\displaystyle 6myab.\)
2. Теперь нужно в исходном выражении вынести множитель \(\displaystyle 6myab\) за скобки. Поскольку требуется получить квадрат выражения, то вынесем его со знаком минус:
\(\displaystyle \begin{array}{l}\kern{-2em} -150my^{\, 3}ab-240y^{\,2}bm^{\,2}a-96am^{\, 3}by= \\[10px]\kern{5em} =-6myab\cdot\left( -\frac{150my^{\, 3}ab}{6myab}-\frac{240y^{\,2}bm^{\,2}a}{-6myab}-\frac{96am^{\, 3}by}{-6myab}\right)=\\[10px]\kern{18em} =-6myab \left( 25y^{\, 2}+40ym+16m^{\,2}\right).\end{array}\)
3. Свернем выражение в скобках, воспользовавшись формулой для квадрата суммы:
\(\displaystyle -6myab \left( 25y^{\, 2}+40ym+16m^{\,2}\right)=-6myab\,(5y+4m\,)^2.\)
Таким образом:
\(\displaystyle -150my^{\, 3}ab-240y^{\,2}bm^{\,2}a-96am^{\, 3}by={\bf -6}\pmb{m}\pmb{y}\pmb{a}\pmb{b}\,({\bf 5}\pmb{y}+{\bf 4}\pmb{m}\,)^{\bf 2}.\)
Ответ: \(\displaystyle {\bf -6}\pmb{m}\pmb{y}\pmb{a}\pmb{b}\,({\bf 5}\pmb{y}+{\bf 4}\pmb{m}\,)^{\bf 2}.\)