Skip to main content

Теория: Раскрытие куба суммы, первая формула

Задание

Найдите числовые коэффициенты:
 

\(\displaystyle (x+5)^3=x^{\,3}+\)\(\displaystyle x^{\,2}+\)\(\displaystyle x\,+\)

Решение

Правило

Куб суммы

Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно

\(\displaystyle (a+b\,)^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.\)

Воспользуемся формулой "Куб суммы" в нашем случае, где \(\displaystyle a=x\) и \(\displaystyle b=5.\) Получаем:

\(\displaystyle (x+5)^3=x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 5+3\cdot x\cdot 5^2+5^3.\)

Найдем числовые коэффициенты:

\(\displaystyle \begin{aligned} x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 5+3\cdot x\cdot 5^{\,2}+5^{\,3}&= x^{\,3}+(3\cdot 5)\cdot x^{\,2}+(3\cdot 5^{\, 2}) \cdot x+5^{\,3}= \\[5px] &=x^{\,3}+15x^{\,2}+75x+125. \end{aligned}\)

Таким образом, искомые числовые коэффициенты равны \(\displaystyle 15,\, 75\) и \(\displaystyle 125\) соответственно.

Ответ: \(\displaystyle x^{\,3}+{\bf 15}x^{\,2}+{\bf 75}x+{\bf 125}.\)

Видео аналогичной задачи