Раскройте куб суммы, вычисляя числовые коэффициенты:
Куб суммы
Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно
\(\displaystyle (a+b\,)^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.\)
Воспользуемся формулой "Куб суммы" в нашем случае, где \(\displaystyle a=3u\)
\(\displaystyle (3u+4w\,)^3=(3u\,)^3+3\cdot (3u\,)^{\,2}\cdot 4w+3\cdot 3u\cdot (4w\,)^2+(4w\,)^3.\)
Раскроем скобки и вычислим числовые коэффициенты:
\(\displaystyle \begin{array}{l} \kern{-1em} (3u\,)^3+3\cdot (3u\,)^2\cdot 4w+3\cdot 3u\cdot (4w\,)^2+(4w\,)^3= \\[5px] \kern{9em} =3^3x^{\,3}+3\cdot 3^2u^{\,2}\cdot 4w+3\cdot 3u\cdot 4^2w^{\,2}+4^3w^{\,3}= \\[5px] \kern{9em} =27x^{\,3}+(3\cdot 3^2\cdot 4)u^{\,2}w+(3\cdot 3\cdot 4^2)uw^{\,2}+64w^{\,3}= \\[5px] \kern{18em} =27u^{\,3}+108u^{\,2}w+144uw^{\,2}+64w^{\,3}. \end{array}\)
Таким образом,
\(\displaystyle (3u+4w\,)^3=27u^{\,3}+108u^{\,2}w+144uw^{\,2}+64w^{\,3}.\)
Ответ: \(\displaystyle 27u^{\,3}+108u^{\,2}w+144uw^{\,2}+64w^{\,3}.\)