Skip to main content

Теория: Нахождение куба суммы

Задание

Найдите куб суммы:
 

x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+4^3=\big(\big)^3

Решение

Первый способ.

Известно, что выражение x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+4^3 является полным кубом суммы.

Правило

Куб суммы

Для любых чисел a, b верно

(a+b\,)^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.

Сравнивая равенства

\begin{align}
\begin{array}{r}
\color{blue}{a}^{\,3}\\
\color{blue}{x}^{\,3}
\end{array}
\kern{-0.3em}
\begin{array}{l}
+\\
+
\end{array}
\kern{-0.3em}
\begin{array}{c}
3\color{blue}{a}^{\,2}\color{green}{b}\\
3\cdot \color{blue}{x}^{\,2}\cdot \color{green}{4}
\end{array}
\kern{-0.3em}
\begin{array}{l}
+\\
+
\end{array}
\kern{-0.3em}
\begin{array}{c}
3\color{blue}{a}\color{green}{b}^{\,2}\\
3\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{4}^2
\end{array}
\begin{array}{l}
+\color{green}{b}^{\,3}\\
+\color{green}{4}^3
\end{array}
\begin{array}{l}
=(\color{blue}{a}+\color{green}{b}\,)^3\\
=(\,\color{blue}{?\,}+\,\color{green}{?\,})^3,
\end{array}
\end{align}

видим, что они в точности совпадают, если a=x и b=4.

Поэтому 

x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+4^3=(x+4)^3.


Ответ: ({\pmb x}+{\bf 4}\,)^3.

 

Второй способ.

Известно, что выражение x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+4^3 является полным кубом суммы.

Значит,

x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+4^3=(a+b\,)^3

для некоторых a и b, которые надо найти.

Напомним формулу "куб суммы".

Правило

Куб суммы

Для любых чисел a, b верно

(a+b\,)^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.

Следовательно,

x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+4^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.

Приравняем выражения, стоящие в третьих степенях. Например,

\color{blue}{a^{\, 3}}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+\color{green}{b^{\, 3}}=\color{blue}{x^{\,3}}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+\color{green}{4^3},

\color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{x^{\, 3}} и \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{4^3}.

Тогда можно предположить, что a=x и b=4.

1. Очевидно, что два равенства \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{x^{\, 3}} и \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{4^3} выполняются.

2. Далее надо проверить равенство утроенных произведений

3a^{\,2}b+3ab^{\,2}=3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2

при a=x и b=4.

Подставляем a=x и b=4 и получаем 3x^{\,2}\cdot 4+3x\cdot 4^2=3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2, верное равенство.

 

В итоге мы получили равенство

x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+4^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}

при a=x и b=4.

Следовательно,

x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+4^3=(a+b\,)^3

при a=x и b=4, то есть

x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+4^3=(x+4)^3.


Ответ: ({\pmb x}+{\bf 4}\,)^3.