Skip to main content

Теория: Нахождение куба суммы

Задание

Найдите куб суммы:
 

\(\displaystyle x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+4^3=\big(\)\(\displaystyle \big)^3\)

Решение

Первый способ.

Известно, что выражение \(\displaystyle x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+4^3\) является полным кубом суммы.

Правило

Куб суммы

Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно

\(\displaystyle (a+b\,)^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.\)

Сравнивая равенства

\(\displaystyle \begin{aligned} \begin{array}{r} \color{blue}{a}^{\,3}\\ \color{blue}{x}^{\,3} \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{l} +\\ + \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} 3\color{blue}{a}^{\,2}\color{green}{b}\\ 3\cdot \color{blue}{x}^{\,2}\cdot \color{green}{4} \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{l} +\\ + \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} 3\color{blue}{a}\color{green}{b}^{\,2}\\ 3\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{4}^2 \end{array} \begin{array}{l} +\color{green}{b}^{\,3}\\ +\color{green}{4}^3 \end{array} \begin{array}{l} =(\color{blue}{a}+\color{green}{b}\,)^3\\ =(\,\color{blue}{?\,}+\,\color{green}{?\,})^3, \end{array} \end{aligned}\)

видим, что они в точности совпадают, если \(\displaystyle a=x\) и \(\displaystyle b=4.\)

Поэтому 

\(\displaystyle x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+4^3=(x+4)^3.\)


Ответ: \(\displaystyle ({\pmb x}+{\bf 4}\,)^3.\)

 

Второй способ.

Известно, что выражение \(\displaystyle x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+4^3\) является полным кубом суммы.

Значит,

\(\displaystyle x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+4^3=(a+b\,)^3\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.

Напомним формулу "куб суммы".

Правило

Куб суммы

Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно

\(\displaystyle (a+b\,)^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.\)

Следовательно,

\(\displaystyle x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+4^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.\)

Приравняем выражения, стоящие в третьих степенях. Например,

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 3}}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+\color{green}{b^{\, 3}}=\color{blue}{x^{\,3}}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+\color{green}{4^3},\)

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{x^{\, 3}}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{4^3}.\)

Тогда можно предположить, что \(\displaystyle a=x\) и \(\displaystyle b=4.\)

1. Очевидно, что два равенства \(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{x^{\, 3}}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{4^3}\) выполняются.

2. Далее надо проверить равенство утроенных произведений

\(\displaystyle 3a^{\,2}b+3ab^{\,2}=3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2\)

при \(\displaystyle a=x\) и \(\displaystyle b=4.\)

Подставляем \(\displaystyle a=x\) и \(\displaystyle b=4\) и получаем \(\displaystyle 3x^{\,2}\cdot 4+3x\cdot 4^2=3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2,\) верное равенство.

 

В итоге мы получили равенство

\(\displaystyle x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+4^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}\)

при \(\displaystyle a=x\) и \(\displaystyle b=4.\)

Следовательно,

\(\displaystyle x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+4^3=(a+b\,)^3\)

при \(\displaystyle a=x\) и \(\displaystyle b=4,\) то есть

\(\displaystyle x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+4^3=(x+4)^3.\)


Ответ: \(\displaystyle ({\pmb x}+{\bf 4}\,)^3.\)