Skip to main content

Теория: Нахождение куба суммы

Задание

Найдите куб суммы:
 

\(\displaystyle (3u\,)^3+216 u^{\,2}+576 u+8^3=\big(\)\(\displaystyle \big)^3\)

Решение

Первый способ.

Известно, что выражение \(\displaystyle (3u\,)^3+216 u^{\,2}+576u+8^3\) является полным кубом суммы.

Правило

Куб суммы

Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно

\(\displaystyle (a+b\,)^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.\)

Перепишем \(\displaystyle 216 u^{\,2}\) и \(\displaystyle 576u\) как утроенные произведения так, чтобы один из множителей был в квадрате:

\(\displaystyle 216 u^{\,2}=3\cdot 9u^{\,2}\cdot 8=3\cdot (3u\,)^2 \cdot 8,\)

\(\displaystyle 576u=3\cdot 3u \cdot 64=3\cdot 3u \cdot 8^2.\)

Тогда

\(\displaystyle (3u\,)^3+216 u^{\,2}+576u+8^3=(3u\,)^3+3\cdot (3u\,)^2 \cdot 8 +3\cdot 3u \cdot 8^2+8^3.\)

Сравнивая равенства

\(\displaystyle \begin{aligned} \begin{array}{r} \color{blue}{a}^{\,3}\\ (\color{blue}{3u}\,)^3 \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{l} +\\ + \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} 3\color{blue}{a}^{\,2}\color{green}{b}\\ 3\cdot (\color{blue}{3u}\,)^2\cdot \color{green}{8} \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{l} +\\ + \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} 3\color{blue}{a}\color{green}{b}^{\,2}\\ 3\cdot \color{blue}{3u}\cdot \color{green}{8}^2 \end{array} \begin{array}{l} +\color{green}{b}^{\,3}\\ +\color{green}{8}^3 \end{array} \begin{array}{l} =(\color{blue}{a}+\color{green}{b}\,)^3\\ =(\,\color{blue}{?\,}+\,\color{green}{?\,})^3, \end{array} \end{aligned}\)

видим, что они в точности совпадают, если \(\displaystyle a=3u\) и \(\displaystyle b=8.\)

Таким образом,

\(\displaystyle (3u\,)^3+216 u^{\,2}+576u+8^3=(3u+8)^3.\)


Ответ: \(\displaystyle ({\bf 3u+8}\,)^3.\)

 

Второй способ.

Известно, что выражение \(\displaystyle (3u\,)^3+216 u^{\,2}+576u+8^3\) является полным кубом суммы.

Значит,

\(\displaystyle (3u\,)^3+216 u^{\,2}+576u+8^3=(a+b\,)^3\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.

Напомним формулу "куб суммы".

Правило

Куб суммы

Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно

\(\displaystyle (a+b\,)^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.\)

Следовательно,

\(\displaystyle (3u\,)^3+216 u^{\,2}+576u+8^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.\)

Приравняем выражения, стоящие в третьих степенях. Например,

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 3}}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+\color{green}{b^{\, 3}}=\color{blue}{(3u\,)^3}+216 u^{\,2}+576u+\color{green}{8^3},\)

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(3u\,)^3}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{8^3}.\)

Тогда можно предположить, что \(\displaystyle a=3u\) и \(\displaystyle b=8.\)

1. Очевидно, что два равенства \(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(3u\,)^3}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{8^3}\) выполняются.

2. Далее надо проверить равенство утроенных произведений

\(\displaystyle 3a^{\,2}b+3ab^{\,2}=216 u^{\,2}+576u\)

при \(\displaystyle a=3u\) и \(\displaystyle b=8.\)

Подставляем \(\displaystyle a=3u\) и \(\displaystyle b=8\) и получаем \(\displaystyle 3\cdot (3u\,)^{\,2}\cdot 8+3\cdot 3u\cdot 8^2=216 u^{\,2}+576u,\) верное равенство.

 

В итоге мы получили равенство

\(\displaystyle (3u\,)^3+216 u^{\,2}+576u+8^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}\)

при \(\displaystyle a=3u\) и \(\displaystyle b=8.\)

Следовательно,

\(\displaystyle (3u\,)^3+216 u^{\,2}+576u+8^3=(a+b\,)^3\)

при \(\displaystyle a=3u\) и \(\displaystyle b=8,\) то есть

\(\displaystyle (3u\,)^3+216 u^{\,2}+576u+8^3=(3u+8)^3.\)


Ответ: \(\displaystyle ({\bf 3u+8}\,)^3.\)