Теория: Нахождение куба суммы

Первый способ.

Известно, что выражение \(\displaystyle 343u^{\,3}+3\cdot (7u\,)^2\cdot 3y+3\cdot 7u \cdot (3y\,)^2+27y^{\,3}\) является полным кубом суммы.

Заметим, что \(\displaystyle 343u^{\,3}=7^3u^{\,3}=(7u\,)^3\) и \(\displaystyle 27y^{\,3}=3^3y^{\,3}=(3y\,)^3,\) и поэтому

\(\displaystyle 343u^{\,3}+3\cdot (7u\,)^2\cdot 3y+3\cdot 7u \cdot (3y\,)^2+27y^{\,3}=(7u\,)^3+3\cdot (7u\,)^2\cdot 3y+3\cdot 7u \cdot (3y\,)^2+(3y\,)^3.\)

Сравнивая равенства

\(\displaystyle \begin{aligned}\begin{array}{r}\color{blue}{a}^{\,3}\\(\color{blue}{7u}\,)^3\end{array}\kern{-0.2em}\begin{array}{l}+\\+\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}3\color{blue}{a}^{\,2}\color{green}{b}\\3\cdot (\color{blue}{7u}\,)^2\cdot \color{green}{3y}\end{array}\kern{-0.2em}\begin{array}{l}+\\+\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}3\color{blue}{a}\color{green}{b}^{\,2}\\3\cdot \color{blue}{7u}\cdot (\color{green}{3y}\,)^2\end{array}\begin{array}{l}+\color{green}{b}^{\,3}\\+(\color{green}{3y}\,)^3\end{array}\begin{array}{l}=(\color{blue}{a}+\color{green}{b}\,)^3\\=(\,\color{blue}{?\,}+\,\color{green}{?\,})^3,\end{array}\end{aligned}\)

видим, что они в точности совпадают, если \(\displaystyle a=7u\) и \(\displaystyle b=3y.\)

Поэтому 

\(\displaystyle 343u^{\,3}+3\cdot (7u\,)^2\cdot 3y+3\cdot 7u \cdot (3y\,)^2+27y^{\,3}=({\bf 7u+3y}\,)^3.\)

Ответ: \(\displaystyle ({\bf 7u+3y}\,)^3.\)

Второй способ.

Известно, что выражение \(\displaystyle 343u^{\,3}+3\cdot (7u\,)^2\cdot 3y+3\cdot 7u \cdot (3y\,)^2+27y^{\,3}\) является полным кубом суммы.

Значит,

\(\displaystyle 343u^{\,3}+3\cdot (7u\,)^2\cdot 3y+3\cdot 7u \cdot (3y\,)^2+27y^{\,3}=(a+b\,)^3\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.

Напомним формулу "куб суммы".

Следовательно,

\(\displaystyle 343u^{\,3}+3\cdot (7u\,)^2\cdot 3y+3\cdot 7u \cdot (3y\,)^2+27y^{\,3}=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.\)

Заметим, что поскольку \(\displaystyle 343u^{\,3}=7^3u^{\,3}=(7u\,)^3\) и \(\displaystyle 27y^{\,3}=3^3y^{\,3}=(3y\,)^3,\) то

\(\displaystyle 343u^{\,3}+3\cdot (7u\,)^2\cdot 3y+3\cdot 7u \cdot (3y\,)^2+27y^{\,3}=(7u\,)^3+3\cdot (7u\,)^2\cdot 3y+3\cdot 7u \cdot (3y\,)^2+(3y\,)^3\)

и

\(\displaystyle (7u\,)^3+3\cdot (7u\,)^2\cdot 3y+3\cdot 7u \cdot (3y\,)^2+(3y\,)^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.\)

Приравняем выражения, стоящие в третьих степенях. Например,

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 3}}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+\color{green}{b^{\, 3}}=\color{blue}{(7u\,)^3}+3\cdot (7u\,)^2\cdot 3y+3\cdot 7u \cdot (3y\,)^2+\color{green}{(3y\,)^3},\)

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(7u\,)^3}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{(3y\,)^3}.\)

Тогда можно предположить, что \(\displaystyle a=7u\) и \(\displaystyle b=3y.\)

1. Очевидно, что два равенства \(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(7u\,)^3}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{(3y\,)^3}\) выполняются.

2. Далее надо проверить равенство утроенных произведений

\(\displaystyle 3a^{\,2}b+3ab^{\,2}=3\cdot (7u\,)^2\cdot 3y+3\cdot 7u \cdot (3y\,)^2\)

при \(\displaystyle a=7u\) и \(\displaystyle b=3y.\)

Подставляем \(\displaystyle a=7u\) и \(\displaystyle b=3y\) и получаем

\(\displaystyle 3\cdot (7u\,)^2\cdot 3y+3\cdot 7u \cdot (3y\,)^2=3\cdot (7u\,)^2\cdot 3y+3\cdot 7u \cdot (3y\,)^2,\)

верное равенство.

В итоге мы получили равенство

\(\displaystyle (7u\,)^3+3\cdot (7u\,)^2\cdot 3y+3\cdot 7u \cdot (3y\,)^2+(3y\,)^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}\)

при \(\displaystyle a=7u\) и \(\displaystyle b=3y.\)

Следовательно,

\(\displaystyle (7u\,)^3+3\cdot (7u\,)^2\cdot 3y+3\cdot 7u \cdot (3y\,)^2+(3y\,)^3=(a+b\,)^3\)

при \(\displaystyle a=7u\) и \(\displaystyle b=3y,\) то есть

\(\displaystyle (7u\,)^3+3\cdot (7u\,)^2\cdot 3y+3\cdot 7u \cdot (3y\,)^2+(3y\,)^3=(7u+3y\,)^3.\)

Таким образом,

\(\displaystyle 343u^{\,3}+3\cdot (7u\,)^2\cdot 3y+3\cdot 7u \cdot (3y\,)^2+27y^{\,3}=({\bf 7u+3y}\,)^3.\)

Ответ: \(\displaystyle ({\bf 7u+3y}\,)^3.\)