Skip to main content

Теория: Нахождение куба суммы

Задание

Найдите куб суммы:
 

\(\displaystyle 27z^{\,3}+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+1000x^{\,3}=\big(\)\(\displaystyle \big)^3\)

Решение

Первый способ.

Известно, что выражение \(\displaystyle 27z^{\,3}+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+1000x^{\,3}\) является полным кубом суммы.

Правило

Куб суммы

Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно

\(\displaystyle (a+b\,)^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.\)

Сначала заметим, что  \(\displaystyle 27z^{\,3}=3^3z^{\,3}=(3z\,)^3\) и \(\displaystyle 1000x^{\,3}=10^3x^{\,3}=(10x\,)^3.\) Далее распишем \(\displaystyle 270z^{\,2}x\) и \(\displaystyle 900z x^{\,2}\) как утроенные произведения так, чтобы один из множителей был в квадрате:

\(\displaystyle 270z^{\,2}x=3\cdot 9z^{\,2}\cdot 10x=3\cdot (3z\,)^2\cdot 10x,\)

\(\displaystyle 900z x^{\,2}=3\cdot 3z\cdot 100x^{\,2}=3\cdot 3z\cdot (10x\,)^2.\)

Поэтому

\(\displaystyle 27z^{\,3}+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+1000x^{\,3}=(3z\,)^3+3\cdot (3z\,)^2\cdot 10x +3\cdot 3z\cdot (10x\,)^2+(10x\,)^3.\)

Сравнивая равенства

\(\displaystyle \begin{aligned} \begin{array}{r} \color{blue}{a}^{\,3}\\ (\color{blue}{3z}\,)^3 \end{array} \kern{-0.2em} \begin{array}{l} +\\ + \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} 3\color{blue}{a}^{\,2}\color{green}{b}\\ 3\cdot (\color{blue}{3z}\,)^2\cdot \color{green}{10x} \end{array} \kern{-0.2em} \begin{array}{l} +\\ + \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} 3\color{blue}{a}\color{green}{b}^{\,2}\\ 3\cdot \color{blue}{3z}\cdot (\color{green}{10x}\,)^2 \end{array} \begin{array}{l} +\color{green}{b}^{\,3}\\ +(\color{green}{10x}\,)^3 \end{array} \begin{array}{l} =(\color{blue}{a}+\color{green}{b}\,)^3\\ =(\,\color{blue}{?\,}+\,\color{green}{?\,})^3, \end{array} \end{aligned}\)

видим, что они в точности совпадают, если \(\displaystyle a=3z\) и \(\displaystyle b=10x.\)

Таким образом,

\(\displaystyle 27z^{\,3}+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+1000x^{\,3}=({\bf 3z+10x}\,)^3.\)

Ответ: \(\displaystyle ({\bf 3z+10x}\,)^3.\)

 

Второй способ.

Известно, что выражение \(\displaystyle 27z^{\,3}+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+1000x^{\,3}\) является полным кубом суммы.

Значит,

\(\displaystyle 27z^{\,3}+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+1000x^{\,3}=(a+b\,)^3\)

для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.

Напомним формулу "куб суммы".

Правило

Куб суммы

Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно

\(\displaystyle (a+b\,)^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.\)

Следовательно,

\(\displaystyle 27z^{\,3}+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+1000x^{\,3}=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.\)

Заметим, что поскольку \(\displaystyle 27z^{\,3}=3^3z^{\,3}=(3z\,)^3\) и \(\displaystyle 1000x^{\,3}=10^3x^{\,3}=(10x\,)^3,\) то

\(\displaystyle 27z^{\,3}+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+1000x^{\,3}=(3z\,)^3+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+(10x\,)^3\)

и

\(\displaystyle (3z\,)^3+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+(10x\,)^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.\)

Приравняем выражения, стоящие в третьих степенях. Например,

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 3}}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+\color{green}{b^{\, 3}}=\color{blue}{(3z\,)^3}+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+\color{green}{(10x\,)^3},\)

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(3z\,)^3}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{(10x\,)^3}.\)

Тогда можно предположить, что \(\displaystyle a=3z\) и \(\displaystyle b=10x.\)

1. Очевидно, что два равенства \(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(3z\,)^3}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{(10x\,)^3}\) выполняются.

2. Далее надо проверить равенство утроенных произведений

\(\displaystyle 3a^{\,2}b+3ab^{\,2}=270z^{\,2}x+900z x^{\,2}\)

при \(\displaystyle a=3z\) и \(\displaystyle b=10x.\)

Подставляем \(\displaystyle a=3z\) и \(\displaystyle b=10x\) и получаем

\(\displaystyle 3\cdot (3z\,)^2\cdot 10x+3\cdot 3z\cdot (10x\,)^2=270z^{\,2}x+900z x^{\,2},\)

верное равенство.

 

В итоге мы получили равенство

\(\displaystyle (3z\,)^3+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+(10x\,)^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}\)

при \(\displaystyle a=3z\) и \(\displaystyle b=10x.\)

Следовательно,

\(\displaystyle (3z\,)^3+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+(10x\,)^3=(a+b\,)^3\)

при \(\displaystyle a=3z\) и \(\displaystyle b=10x,\) то есть

\(\displaystyle (3z\,)^3+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+(10x\,)^3=(3z+10x\,)^3.\)

 

Таким образом,

\(\displaystyle 27z^{\,3}+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+1000x^{\,3}=({\bf 3z+10x}\,)^3.\)

Ответ: \(\displaystyle ({\bf 3z+10x}\,)^3.\)