Найдите куб суммы:
\(\displaystyle (7z\,)^3+3\cdot (7z\,)^2\cdot 9x+3\cdot 7z\cdot (9x\,)^2+(9x\,)^3=\big(\)\(\displaystyle \big)^3\)
Первый способ.
Известно, что выражение \(\displaystyle (7z\,)^3+3\cdot (7z\,)^2\cdot 9x+3\cdot 7z\cdot (9x\,)^2+(9x\,)^3\) является полным кубом суммы.
Куб суммы
Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно
\(\displaystyle (a+b\,)^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.\)
Сравнивая равенства
\(\displaystyle \begin{aligned}\begin{array}{r}\color{blue}{a}^{\,3}\\(\color{blue}{7z}\,)^3\end{array}\kern{-0.2em}\begin{array}{l}+\\+\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}3\color{blue}{a}^{\,2}\color{green}{b}\\3\cdot (\color{blue}{7z}\,)^2\cdot \color{green}{9x}\end{array}\kern{-0.2em}\begin{array}{l}+\\+\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}3\color{blue}{a}\color{green}{b}^{\,2}\\3\cdot \color{blue}{7z}\cdot (\color{green}{9x}\,)^2\end{array}\begin{array}{l}+\color{green}{b}^{\,3}\\+(\color{green}{9x}\,)^3\end{array}\begin{array}{l}=(\color{blue}{a}+\color{green}{b}\,)^3\\=(\,\color{blue}{?\,}+\,\color{green}{?\,})^3,\end{array}\end{aligned}\)
видим, что они в точности совпадают, если \(\displaystyle a=7z\) и \(\displaystyle b=9x.\)
Поэтому
\(\displaystyle (7z\,)^3+3\cdot (7z\,)^2\cdot 9x+3\cdot 7z\cdot (9x\,)^2+(9x\,)^3=(7z+9x\,)^3.\)
Ответ: \(\displaystyle ({\bf 7z+9x}\,)^3.\)
Второй способ.
Известно, что выражение \(\displaystyle (7z\,)^3+3\cdot (7z\,)^2\cdot 9x+3\cdot 7z\cdot (9x\,)^2+(9x\,)^3\) является полным кубом суммы.
Значит,
\(\displaystyle (7z\,)^3+3\cdot (7z\,)^2\cdot 9x+3\cdot 7z\cdot (9x\,)^2+(9x\,)^3=(a+b\,)^3\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.
Напомним формулу "куб суммы".
Куб суммы
Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно
\(\displaystyle (a+b\,)^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.\)
Следовательно,
\(\displaystyle (7z\,)^3+3\cdot (7z\,)^2\cdot 9x+3\cdot 7z\cdot (9x\,)^2+(9x\,)^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.\)
Приравняем выражения, стоящие в третьих степенях. Например,
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 3}}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+\color{green}{b^{\, 3}}=\color{blue}{(7z\,)^3}+3\cdot (7z\,)^2\cdot 9x+3\cdot 7z\cdot (9x\,)^2+\color{green}{(9x\,)^3},\)
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(7z\,)^3}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{(9x\,)^3}.\)
Тогда можно предположить, что \(\displaystyle a=7z\) и \(\displaystyle b=9x.\)
1. Очевидно, что два равенства \(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(7z\,)^3}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{(9x\,)^3}\) выполняются.
2. Далее надо проверить равенство утроенных произведений
\(\displaystyle 3a^{\,2}b+3ab^{\,2}=3\cdot (7z\,)^2\cdot 9x+3\cdot 7z\cdot (9x\,)^2\)
при \(\displaystyle a=7z\) и \(\displaystyle b=9x.\)
Подставляем \(\displaystyle a=7z\) и \(\displaystyle b=9x\) и получаем
\(\displaystyle 3\cdot (7z\,)^2\cdot 9x+3\cdot 7z\cdot (9x\,)^2=3\cdot (7z\,)^2\cdot 9x+3\cdot 7z\cdot (9x\,)^2,\)
верное равенство.
В итоге мы получили равенство
\(\displaystyle (7z\,)^3+3\cdot (7z\,)^2\cdot 9x+3\cdot 7z\cdot (9x\,)^2+(9x\,)^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}\)
при \(\displaystyle a=7z\) и \(\displaystyle b=9x.\)
Следовательно,
\(\displaystyle (7z\,)^3+3\cdot (7z\,)^2\cdot 9x+3\cdot 7z\cdot (9x\,)^2+(9x\,)^3=(a+b\,)^3\)
при \(\displaystyle a=7z\) и \(\displaystyle b=9x,\) то есть
\(\displaystyle (7z\,)^3+3\cdot (7z\,)^2\cdot 9x+3\cdot 7z\cdot (9x\,)^2+(9x\,)^3=(7z+9x\,)^3.\)
Ответ: \(\displaystyle ({\bf 7z+9x}\,)^3.\)