Skip to main content

Теория: Разложение разности кубов

Задание

Раскройте разность кубов:
 

\(\displaystyle 343x^{\,3}-z^{\,3}=\big(\) \(\displaystyle \big)\big(\)
49x^2+7xz+z^2
\(\displaystyle \big)\)


Для ввода степени используйте специальное меню, расположенное справа в ячейке ввода.

Решение

Сначала заметим, что поскольку \(\displaystyle 343x^{\, 3}=7^3x^{\, 3}=(7x\,)^3,\) то

\(\displaystyle 343x^{\, 3}-z^{\,3}=(7x\,)^3-z^{\,3}.\)

Теперь воспользуемся формулой "Разность кубов".

Правило

Разность кубов

Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно

\(\displaystyle a^{\,3}-b^{\,3}=(a-b\,)(a^{\,2}+ab+b^{\,2}).\)

В нашем случае, где \(\displaystyle a=7x\) и \(\displaystyle b=z,\) получаем:

\(\displaystyle (7x\,)^3-z^{\,3}=(7x-z\,)((7x\,)^2+7x\cdot z+z^{\,2}).\)

Найдем числовые коэффициенты:

\(\displaystyle \begin{aligned} (7x-z\,)((7x\,)^2+7x\cdot z+z^{\,2})&=(7x-z\,)(7^2x^{\,2}+7xz+z^{\,2})=\\ &=(7x-z\,)(49x^{\,2}+7xz+z^{\,2}). \end{aligned}\)

Таким образом,

\(\displaystyle 343x^{\, 3}-z^{\,3}=(7x-z\,)(49x^{\,2}+7xz+z^{\,2}).\)

Ответ: \(\displaystyle ({\bf 7x-z}\,)({\bf 49x^{\,2}+7xz+z^{\,2}}).\)