Skip to main content

Теория: Нестрогие неравенства и их свойства

Задание

Известно, что \(\displaystyle x\ge y{\small .}\) Определите знаки неравенств:
 

\(\displaystyle \frac{1}{2}\cdot x\) \(\displaystyle \frac{1}{2}\cdot y\)

\(\displaystyle -2\cdot x\) \(\displaystyle -2\cdot y\)

Решение

Воспользуемся правилом.

Правило

1. Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не меняется, то есть

если \(\displaystyle \color{blue}{ a}\ge\color{green}{ b} \) и  \(\displaystyle \color{red}{ c}>0{\small , } \) то \(\displaystyle \color{red}{ c}\cdot \color{blue}{ a}\ge\color{red}{ c}\cdot \color{green}{ b} {\small .}\)

 

2. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства меняется на противоположный, то есть

если \(\displaystyle \color{blue}{ a}\ge\color{green}{ b} \) и  \(\displaystyle \color{red}{ c}<0{\small , } \) то \(\displaystyle \color{red}{ c}\cdot \color{blue}{ a}\le\color{red}{ c}\cdot \color{green}{ b} {\small .}\)

Сначала, используя правило, умножим обе части неравенства на \(\displaystyle \frac{1}{2} \) (знак неравенства не меняется):

\(\displaystyle \color{blue}{ x}\ge \color{green}{ y}\,{\small ;} \)

\(\displaystyle \color{red}{ \frac{ 1}{ 2}}\cdot \color{blue}{ x}\ge \color{red}{ \frac{ 1}{ 2}}\cdot \color{green}{ y}{\small .} \)


Теперь умножим обе части неравенства на \(\displaystyle -2 \) (знак неравенства изменится на противоположный):

\(\displaystyle \color{blue}{ x}\ge \color{green}{ y}\,{\small ;} \)

\(\displaystyle \color{red}{ -2}\cdot \color{blue}{ x}\le \,\color{red}{ -2}\cdot \color{green}{ y}{\small .} \)


Таким образом, из неравенства \(\displaystyle x\ge y \) получили:
 

Обе части умножили на \(\displaystyle \frac{1}{2}\)Обе части умножили на \(\displaystyle -2\)
\(\displaystyle \frac{ 1}{ 2}\cdot x\ge \frac{ 1}{ 2}\cdot y \)\(\displaystyle -2\cdot x\le -2\cdot y \)