Skip to main content

Теория: Нестрогие неравенства и их свойства

Задание

Известно, что \(\displaystyle a\ge b \) и \(\displaystyle x \ge y{\small .}\) Определите знак неравенства:
 

\(\displaystyle a+ x\) \(\displaystyle b+y\)

Решение

Сначала прибавим к обеим частям неравенства \(\displaystyle a\ge b \) переменную \(\displaystyle x{\small . } \) Тогда

\(\displaystyle a+x\ge b+x{\small . } \)

Теперь прибавим к обеим частям неравенства \(\displaystyle x\ge y\) переменную \(\displaystyle b{\small . } \) Тогда

\(\displaystyle x+b\ge y+b{\small . } \)

Мы получили, что

\(\displaystyle \color{blue}{ a+x}\ge \color{green}{ b+x} \) и \(\displaystyle \color{green}{ x+b}\ge \color{red}{ y+b}{\small , } \)

то есть \(\displaystyle \color{blue}{ a+x}\ge \color{green}{ b+x}\ge \color{red}{ y+b}{\small . } \)

Транзитивность чисел

Значит, \(\displaystyle a+x\ge y+b{\small . } \)


Ответ: \(\displaystyle a+x\ge b+y{\small . } \)


Замечание / комментарий

Сложение неравенств одного знака

Неравенства с одним и тем же знаком можно складывать.

В нашем случае \(\displaystyle a\ge b \) и \(\displaystyle c\ge d{\small , } \) и, значит,

\(\displaystyle a+c\ge b+d{\small . } \)