Skip to main content

Теория: Приближенное вычисление корня (до десятых)

Задание

Найдите без округления значение корня до десятых, выполнив один шаг в интерполяционном методе Ньютона:

\(\displaystyle \sqrt{79}=\)\(\displaystyle ,\)\(\displaystyle \ldots\)

Решение

Правило

Интерполяционный метод Ньютона

\(\displaystyle \sqrt{\color{red}{79}}\approx x_{1}\)

  • \(\displaystyle x_0\) –  ближайшая оценка снизу или сверху,
  • \(\displaystyle x_1=\frac{1}{2}\left(\color{green}{x_0}+\frac{\color{red}{79}}{\color{green}{x_0}}\right){\small .}\)

Так как \(\displaystyle 81^2=9\) –  ближайшее число к \(\displaystyle 79{\small , }\) являющиеся квадратом, то \(\displaystyle \sqrt{79}<\sqrt{81}=9{\small .}\)

Выберем начальный шаг в интерполяционном методе Ньютона \(\displaystyle x_0=9{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle x_1=\frac{1}{2}\left(\color{green}{9}+\frac{\color{red}{79}}{\color{green}{9}}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{160}{9}=8{,}88\ldots \)

Поэтому мы можем предположить, что

\(\displaystyle \sqrt{79}=8{,}{\bf 8}\ldots\)

 

Проверим точность данного представления.

Проверка точности

Найдем значения \(\displaystyle (8{,}8)^2=77{,}44<79{\small .}\)

Увеличиваем число на одну десятую: \(\displaystyle (8{,}8+0{,}1)^2=(8{,}9)^2=79{,}21>79{\small .} \)

Следовательно,

\(\displaystyle 8{,}8<\sqrt{79}<8{,}9{\small .}\)

Это доказывает, что \(\displaystyle \sqrt{79}=8{,}8\ldots\)

Ответ: \(\displaystyle \sqrt{79}=8{,}{\bf 8}\ldots\)