Skip to main content

Теория: Приближенное вычисление корня (до десятых)

Задание

Найдите без округления значение корня с точностью до десятых:

\(\displaystyle \sqrt{22}=\)\(\displaystyle ,\)\(\displaystyle \ldots\)

Решение

Правило

Для любых натуральных чисел \(\displaystyle a,\, b\) верно

\(\displaystyle \sqrt{a^{\,2}-b} \approx a-\frac{b}{2a}{\small .}\)

Наименьшее число, являющиеся квадратом натурального числа, которое больше \(\displaystyle 22{\small , }\) –  это \(\displaystyle \color{blue}{25}=\color{blue}{5^2}\) (ближайший больший квадрат натурального числа).

Тогда можно записать:

\(\displaystyle 22=\color{blue}{25}-\color{green}{3}=\color{blue}{5^2}-\color{green}{3}{\small .}\)

Применим формулу, дающую приближенное значение корня:

\(\displaystyle \sqrt{22}=\sqrt{\color{blue}{5^2}-\color{green}{3}}\approx \color{blue}{5}-\frac{\color{green}{3}}{2\cdot\color{blue}{5}}= 4{,}7\ldots\)

Следовательно, можно предположить, что

\(\displaystyle \sqrt{22}=4{,}7\ldots\)

 

Проверим точность данного представления.

Проверка точности

Найдем \(\displaystyle (4{,}7)^2:\)

\(\displaystyle (4{,}7)^2= 22.09 > 22{\small .}\)

Так как полученное число больше \(\displaystyle 22{\small ,}\) то на следующем шаге уменьшим число на \(\displaystyle \color{red}{0{,}1}{\small ,}\) то есть \(\displaystyle 4{,}7\color{red}{-0{,}1}=4.6 {\small :}\)

\(\displaystyle (4.6)^2=21.16 < 22{\small .}\)

Поэтому

\(\displaystyle (4.6)^2 < 22 <(4.7)^2{\small ,}\)

\(\displaystyle \sqrt{(4.6)^2}<\sqrt{22}<\sqrt{(4.7)^2}{\small ,}\)

\(\displaystyle 4.6 < \sqrt{22}< 4.7{\small .}\)


Таким образом, нам пришлось уменьшить полученное число на \(\displaystyle 0{,}1{\small ,}\) чтобы найти без округления значение корня до десятых:

\(\displaystyle \sqrt{22}=4{,}{\bf 6}\ldots\)

 

Ответ: \(\displaystyle \sqrt{22}=4.6 \ldots \)