Skip to main content

Теория: Приведение к элементарным квадратным уравнениям

Задание

Найдите решение уравнения:

\(\displaystyle 12(29x+7)^2=8(29x+7)^2+1024\)

\(\displaystyle x_1=\)
-\frac{23}{29}
,   \(\displaystyle x_2=\)
\frac{9}{29}


Оставьте поля ввода пустыми, если уравнение не имеет действительных решений.

Решение

Для того чтобы решить уравнение \(\displaystyle 12(29x+7)^2=8(29x+7)^2+1024{\small ,}\) приведем его к виду, когда с одной стороны стоит выражение в квадрате, а с другой стороны – число.

Перенесем \(\displaystyle \color{blue}{8(29x+7)^2}\) в левую часть уравнения (то есть вычтем \(\displaystyle \color{blue}{8(29x+7)^2}\) из обеих частей уравнения):

\(\displaystyle 12(29x+7)^2=\color{blue}{ 8(29x+7)^2}+1024{\small ; } \)

\(\displaystyle 12(29x+7)^2-\color{blue}{ 8(29x+7)^2}=1024{\small ; } \)

\(\displaystyle 4(29x+7)^2=1024{\small . } \)

Разделим обе части уравнения на \(\displaystyle \color{green}{4}{\small : } \)

\(\displaystyle \frac{4(29x+7)^2}{\color{green}{4}}=\frac{1024}{\color{green}{4}}{\small ; } \)

\(\displaystyle (29x+7)^2=256{\small . } \)

Полученное уравнения решается по правилу решения элементарного уравнения \(\displaystyle \color{red}{X}^2=a{\small , } \) где \(\displaystyle \color{red}{X}=29x+7{\small .}\)

Решение уравнения \(\displaystyle \color{red}{X}^2=a \)

Тогда

\(\displaystyle \color{red}{X}=\sqrt{256} \) или \(\displaystyle \color{red}{X}= -\sqrt{256} \)

и, так как \(\displaystyle \color{red}{X}=29x+7{\small ,}\) то

\(\displaystyle 29x+7=\sqrt{256} \) или \(\displaystyle 29x+7= -\sqrt{256}{\small ; } \)

\(\displaystyle 29x+7=16\) или \(\displaystyle 29x+7= -16{\small ; } \)

\(\displaystyle 29x=9\) или \(\displaystyle 29x= -23{\small ; } \)

\(\displaystyle x=\frac{9}{29} \) или \(\displaystyle x= -\frac{23}{29} {\small . } \)


Ответ: \(\displaystyle x_1=\frac{9}{29} {\small , }\) \(\displaystyle x_2= -\frac{23}{29} {\small . } \)