Skip to main content

Теория: Приведение к элементарным квадратным уравнениям

Задание

Найдите решение уравнения:

\(\displaystyle 2(11x-8)^2=4(11x-8)^2-14\)

\(\displaystyle x_1=\)
\frac{8+ \sqrt{7}}{11}
,   \(\displaystyle x_2=\)
\frac{8- \sqrt{7}}{11}


Оставьте поля ввода пустыми, если уравнение не имеет действительных решений.

Решение

Для того чтобы решить уравнение \(\displaystyle 2(11x-8)^2=4(11x-8)^2-14{\small ,}\) приведем его к виду, когда с одной стороны стоит выражение в квадрате, а с другой стороны – число.

Перенесем \(\displaystyle \color{blue}{4(11x-8)^2}\) в левую часть уравнения (то есть вычтем \(\displaystyle \color{blue}{4(11x-8)^2}\) из обеих частей уравнения):

\(\displaystyle 2(11x-8)^2=\color{blue}{ 4(11x-8)^2}-14{\small ; } \)

\(\displaystyle 2(11x-8)^2-\color{blue}{ 4(11x-8)^2}=-14{\small ; } \)

\(\displaystyle -2(11x-8)^2=-14{\small . } \)

Разделим обе части уравнения на \(\displaystyle \color{green}{-2}{\small : } \)

\(\displaystyle \frac{-2(11x-8)^2}{\color{green}{-2}}=\frac{-14}{\color{green}{-2}}{\small ; } \)

\(\displaystyle (11x-8)^2=7{\small . } \)

Полученное уравнения решается по правилу решения элементарного уравнения \(\displaystyle \color{red}{X}^2=a{\small , } \) где \(\displaystyle \color{red}{X}=11x-8{\small .}\)

Решение уравнения \(\displaystyle \color{red}{X}^2=a \)

Тогда

\(\displaystyle \color{red}{X}=\sqrt{7} \) или \(\displaystyle \color{red}{X}= -\sqrt{7} \)

и, так как \(\displaystyle \color{red}{X}=11x-8{\small ,}\) то

\(\displaystyle 11x-8=\sqrt{7} \) или \(\displaystyle 11x-8= -\sqrt{7}{\small ; } \)

\(\displaystyle 11x=8+\sqrt{7} \) или \(\displaystyle 11x= 8-\sqrt{7}{\small ; } \)

\(\displaystyle x=\frac{8+\sqrt{7}}{11} \) или \(\displaystyle x= \frac{8-\sqrt{7}}{11} {\small . } \)


Ответ: \(\displaystyle x_1=\frac{8+\sqrt{7}}{11} {\small , }\) \(\displaystyle x_2= \frac{8-\sqrt{7}}{11} {\small . } \)