В классе \(\displaystyle 18\) семиклассников, среди них два близнеца — Иван и Игорь. Класс случайным образом делят на две группы, по \(\displaystyle 9\) человек в каждой. Найдите вероятность того, что Иван и Игорь окажутся в разных группах.
Первый способ.
Найдем число возможных мест для Игоря.
В той группе, где находится Иван, есть\(\displaystyle 8\) мест, которые может занять Игорь. В другой группе есть \(\displaystyle 9 \) мест, которые может занять Игорь.
Следовательно, общие число исходов равно числу мест, которые может занять Игорь, и равно \(\displaystyle 8+9=17{\small .}\)
Число благоприятных исходов равно числу свободных мест в группе, где нет Ивана, то есть равно \(\displaystyle 9{\small .}\)
По формуле классической вероятности, вероятность того, что Иван и Игорь окажутся в разных группах, равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов:
\(\displaystyle \frac{9}{17}{\small .}\)
Ответ:\(\displaystyle \frac{9}{17}{\small .}\)
Второй способ.
Число всех возможных исходов – это общее число возможных групп по \(\displaystyle 9\) человек из \(\displaystyle 18{ \small ,}\) то есть
\(\displaystyle C_{18}^{9}=\frac{18!}{9!(18-9)!}=\frac{18!}{9! \cdot 9!}{\small .}\)
Число благоприятных исходов равно числу групп из \(\displaystyle 9\) человек, в которые будет входить Иван, но не будет входить Игорь, или будет входить Игорь, но не будет входить Иван. Найдем число таких групп.
Пусть в группе одно место занято Иваном, тогда остаются свободными только \(\displaystyle 8\) мест. Однако, эти \(\displaystyle 8\) мест могут занять любые семиклассники, кроме Ивана (так как он уже в группе) и кроме Игоря (так как он не должен быть в этой группе). Таким образом, число таких групп равно числу выборов по \(\displaystyle 8\) из \(\displaystyle 16\) ( \(\displaystyle 18-2\)):
\(\displaystyle C_{16}^{8}=\frac{16!}{8!(16-8)!}=\frac{16!}{8!\cdot 8!}{\small .}\)
Аналогично, если одно место в группе занято Игорем, получаем, что число таких групп равно
\(\displaystyle C_{16}^{8}=\frac{16!}{8!(16-8)!}=\frac{16!}{8!\cdot 8!}{\small .}\)
Тогда общее число таких групп равно
\(\displaystyle \frac{16!}{8!\cdot 8!}+\frac{16!}{8!\cdot 8!}=2\cdot\frac{16!}{8!\cdot 8!}{\small .}\)
По формуле классической вероятности, вероятность того, что Иван и Игорь окажутся в разных группах, равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов:
\(\displaystyle \frac{2 \cdot 16!}{8!\cdot 8!}:\frac{18!}{9! \cdot 9!}=\frac{2 \cdot 16! \cdot 9! \cdot 9!}{8!\cdot 8! \cdot 18!}=\frac{2 \cdot 9 \cdot 9}{17 \cdot 18}=\frac{9}{17}{\small .}\)
Ответ:\(\displaystyle \frac{9}{17}{\small .}\)