В классе \(\displaystyle 22\) семиклассника, среди них два близнеца — Иван и Игорь. Класс случайным образом делят на две группы, по \(\displaystyle 11\) человек в каждой. Найдите вероятность того, что Иван и Игорь окажутся в разных группах.
Первый способ.
Найдем число возможных мест для Игоря.
В той группе, где находится Иван, есть\(\displaystyle 10\) мест, которые может занять Игорь. В другой группе есть \(\displaystyle 11 \) мест, которые может занять Игорь.
Следовательно, общие число исходов равно числу мест, которые может занять Игорь, и равно \(\displaystyle 10+11=21{\small .}\)
Число благоприятных исходов равно числу свободных мест в группе, где нет Ивана, то есть равно \(\displaystyle 11{\small .}\)
По формуле классической вероятности, вероятность того, что Иван и Игорь окажутся в разных группах, равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов:
\(\displaystyle \frac{11}{21}{\small .}\)
Ответ:\(\displaystyle \frac{10}{21}{\small .}\)
Второй способ.
Число всех возможных исходов – это общее число возможных групп по \(\displaystyle 11\) человек из \(\displaystyle 22{ \small ,}\) то есть
\(\displaystyle C_{22}^{11}=\frac{22!}{11!(22-11)!}=\frac{22!}{11! \cdot 11!}{\small .}\)
Число благоприятных исходов равно числу групп из \(\displaystyle 11\) человек, в которые будет входить Иван, но не будет входить Игорь, или будет входить Игорь, но не будет входить Иван. Найдем число таких групп.
Пусть в группе одно место занято Иваном, тогда остаются свободными только \(\displaystyle 10\) мест. Однако, эти \(\displaystyle 10\) мест могут занять любые семиклассники, кроме Ивана (так как он уже в группе) и кроме Игоря (так как он не должен быть в этой группе). Таким образом, число таких групп равно числу выборов по \(\displaystyle 10\) из \(\displaystyle 20\) ( \(\displaystyle 22-2\)):
\(\displaystyle C_{20}^{10}=\frac{20!}{10!(20-10)!}=\frac{20!}{10!\cdot 10!}{\small .}\)
Аналогично, если одно место в группе занято Игорем, получаем, что число таких групп равно
\(\displaystyle C_{20}^{10}=\frac{20!}{10!(20-10)!}=\frac{20!}{10!\cdot 10!}{\small .}\)
Тогда общее число таких групп равно
\(\displaystyle \frac{20!}{10!\cdot 10!}+\frac{20!}{10!\cdot 10!}=2\cdot\frac{20!}{10!\cdot 10!}{\small .}\)
По формуле классической вероятности, вероятность того, что Иван и Игорь окажутся в разных группах, равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов:
\(\displaystyle \frac{2 \cdot 20!}{10!\cdot 10!}:\frac{22!}{11! \cdot 11!}=\frac{2 \cdot 20! \cdot 11! \cdot 11!}{10!\cdot 10! \cdot 22!}=\frac{2 \cdot 11 \cdot 11}{21 \cdot 22}=\frac{11}{21}{\small .}\)
Ответ:\(\displaystyle \frac{11}{21}{\small .}\)